专题01 等差数列（八大题型，重难点突破）-【课后优辅导】2024年春季高二数学下学期精品讲义（人教A版2019）

专题01 等差数列 知识点一．等差数列的有关概念 （1）等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． （2）等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 知识点二．等差数列的有关公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （2）等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 知识点三．等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1）通项公式的推广：． （2）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （3），…仍是等差数列，公差为． （4），…也成等差数列，公差为． （5）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． 知识点四．等差数列的前n项和公式与函数的关系 ．数列是等差数列⇔（为常数）． 知识点五．等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 题型一、等差数列的基本量运算 例1．（2024上·浙江绍兴·高二校联考期末）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．16 D．19 例2．（2024上·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）若数列满足递推关系式，且，则（    ） A． B． C． D． 例3．（2023下·高二课时练习）已知数列满足，且，则 . 变式训练1．（2024上·安徽合肥·高二校联考期末）在等差数列中，，，则的值是（   ） A．13 B．14 C．16 D．17 变式训练2．（2018下·高一课时练习）在数列中，若，，，则该数列的通项为 ． 变式训练3．（2023下·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考阶段练习）在等差数列中，若，，则数列的通项公式为 ． 题型二、等差数列的判定与证明 例4、（2024下·安徽·高二蚌埠二中校联考开学考试）已知在数列中，． (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求． 例5．（2023上·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知数列满足， (1)求证：数列为等差数列; (2)求数列的通项公式与最大值. 变式训练4．（2024上·安徽黄山·高二统考期末）己知数列满足：. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，求满足条件的最大整数n. 变式训练5．（2024上·广东广州·高二统考期末）已知数列满足，， (1)求证：数列为等差数列； (2)设，记集合中元素的个数为，求使成立的最小正整数的值. 题型三：等差中项 例6．（2020下·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考期中）在等差数列中，若，，则（    ） A．50 B．60 C．65 D．75 例7．（2021上·陕西渭南·高二统考期末）在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 例8．（2024上·浙江丽水·高二统考期末）己知等差数列的前n项和为，若，则 . 变式训练6．（2020·云南·统考模拟预测）若等差数列的前15项和，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式训练7．（2023上·安徽滁州·高二校考阶段练习）已知数列是等差数列，，则 ． 变式训练8．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，则 . 题型四：等差数列前n项和的性质 例9．（2024上·湖北武汉·高二校联考期末）已知等差数列前项的和为，则 ． 例10．（2024上·湖南永州·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，且，，则 ． 例11．（2024上·山东青岛·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．9 B．18 C．27 D．54 变式训练9．（2020上·江苏无锡·高二校考阶段练习）等差数列的前项和为，若则 . 变式训练10．（2024上·河北唐山·高二统考期末）记是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．78 变式训练11．（2024上·山东菏泽·高二统考期末）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．10 D．12 题型五：等差数列的最值问题 例12．（2024下·高二课时练习）已知各项均为正整数的递增数列的前n项和为，若，，当n取最大值时，的值为（ ） A．10 B．61 C．64 D．73 例13．（2024上·福建泉州·高二统考期末）已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（    ） A．12 B．13 C．24 D．25 变式训练12．（2019上·内蒙古乌兰察布·高二集宁一