课后提升练(12) 数列的应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

课后提升练(十二)　数列的应用 [对应学生用书P101] 1．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 020这2 020个数中，能被2除余1，且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则a20＝(　　) A．181 B．191 C．201 D．211 B　解析：由题意可知an－1既是2的倍数，也是5的倍数，即an－1是10的倍数，则an－1＝10(n－1)(n∈N＋)，故a20＝10×(20－1)＋1＝191. 2．“一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出《庄子·天下》，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完(一尺约等于33.33厘米).这形象地说明了事物具有无限可分性．问：当剩余的棍棒长度小于1厘米时需要截取的最少次数为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 A　解析：由题意可知第一次剩余的棍棒长度为尺，则第n次剩余的棍棒长为尺，由×33.33<1得，n≥6，所以当剩余的棍棒长度小于1厘米时需要截取的最少次数为6，故选A． 3．在超市中购买一个卷筒纸，其内圆直径为4 cm，外圆直径为12 cm，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，令π＝3.14，则这个卷筒纸的长度(精确到个位)为(　　) A．17 m B．16 m C．15 m D．14 m C　解析：纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列{dn}，则纸的长度为l＝πd1＋πd2＋πd3＋…＋πd60，其中d1＋d2＋d3＋…＋πd60＝×60＝480，则l＝πd1＋πd2＋πd3＋…＋πd60＝480π＝480×3.14＝1 507.2≈15(m).故选C． 4．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________． 6　解析：设每天植树的棵数组成的数列为{an}，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得≥100，即2n≥51，而25＝32，26＝64，n∈N*，所以n≥6.即需要的最少天数n为6. 5．已知光通过一块某种玻璃，强度要损失10%.那么要使光的强度减弱到原来的以下，则至少需要通过这样的玻璃______块．(参考数据：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0) 7　解析：由题意知，经过n块玻璃的光的强度减弱符合等比数列an＝0.9n(n∈N*)，要使光的强度减弱到原来的以下，即an＝0.9n<⇔n>log0.9＝≈6.6，即n≥7. 6．如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为________． 　解析：由题意，得正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，∴n＝10，∴最小正方形的边长为×()9＝. 7．从盛满a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加满，再倒出b升，再用水加满；这样倒了n次，则容器中有纯酒精________升． (a－b)(1－)n－1　解析：倒了1次后，剩余纯酒精(a－b)升，倒了2次后，剩余纯酒精(a－b)－(a－b)·＝(a－b)·(1－)升，倒了3次后，剩余纯酒精(a－b)·(1－)－(a－b)·(1－)＝(a－b)·(1－)2升，∴每次剩下原来的1－，∴逐次剩下的酒精量就构成以a－b为首项，以1－为公比的等比数列{an}，∴an＝(a－b)(1－)n－1. 8．“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋科学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、三角垛等．某仓库中部分货物堆放成“菱草垛”，自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元，则n的值为________. 10　解析：由题意可得第n层的货物的价格为an＝n()n－1. 设这堆资物总价是Sn＝1·()0＋2·()1＋3·()2＋…＋n·()n－1，① 由①×可得Sn＝1·()1＋2·()2＋3·()3＋…＋n·()n，② 由①－②可得Sn＝1＋()1＋()2＋()3＋…＋()n－1－n·()n＝－n·()n＝10－(10＋n)·()n，则Sn＝100－10(10＋n)·()n.因为这堆货物总价是100－200()n万