单元素养强化练(十) 复 数（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册（人教B版2019）

单元素养强化练(十)　复　数 [对应学生用书P167] 1．(2021·新高考卷Ⅱ，T1)复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　) A．第一象限　　　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 A　解析：＝＝＝，所以该复数对应的点为(，)，该点在第一象限． 2．一元二次方程x2－(5＋i)x＋4－i＝0有一个实根x0，则(　　) A．x0＝4 B．x0＝1 C．x0＝4或x0＝1 D．x0不存在 D　解析：由已知可得x－(5＋i)x0＋4－i＝0， ∴，该方程组无解． 3．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||等于(　　) A． B．2 C． D．4 B　解析：由题意＝－，∴对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i， ∴||＝2. 4．定义复数的一种运算z1*z2＝(等式右边为普通运算)，若复数z＝a＋bi，且正实数a，b满足a＋b＝3，则z*的最小值为(　　) A． B． C． D． B　解析：z*＝＝＝＝. 又∵ab≤()2＝，∴－ab≥－，当且仅当a＝b＝时等号成立．∴z*≥ ＝＝. 5．(多选题)对任意z1，z2，z∈C，下列结论成立的是(　　) A．当m，n∈N*时，有zmzn＝zm＋n B．当z1，z2∈C时，若z＋z＝0，则z1＝0且z2＝0 C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且||2＝|z|2＝z· D．z1＝z2的充要条件是|z1|＝|z2| AC　解析：由复数乘法的运算律知，A正确；取z1＝1，z2＝i，满足z＋z＝0，但z1＝0且z2＝0不成立，B错误；由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C正确；由z1＝z2能推出|z1|＝|z2|，但|z1|＝|z2|推不出z1＝z2，因此z1＝z2的必要不充分条件是|z1|＝|z2|，D错误． 6．已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则|z|＝________． 10　解析：法一　∵z＝(3＋i)2， ∴|z|＝|(3＋i)2|＝|3＋i|2＝10. 法二　∵z＝(3＋i)2＝9＋6i＋i2＝8＋6i， ∴|z|＝ ＝10. 7．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________． －2＋3i　解析：∵(2，－3)关于原点的对称点是(－2，3)， ∴z2＝－2＋3i. 8．若复数(－6＋k2)－(k2－4)i所对应的点在第三象限，则实数k的取值范围是________________． (－，－2)∪(2，)　解析：由已知得， ∴4<k2<6.∴－<k<－2或2<k<. 9．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________． 4i　解析：设m＝bi(b∈R)，则x2＋(2－i)x＋(2bi－4)i＝0，化简得(x2＋2x－2b)＋(－x－4)i＝0， 即解得∴m＝4i. 10．若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________． 2π　解析：不等式|z－i|≤的解集是以点(0，1)为圆心，为半径的圆及其内部，所以z在复平面内所对应的图形的面积为2π. 11．m为何实数时，复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)是 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解：z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i) ＝2m2＋m2i－3mi－3m－2＋2i ＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i. (1)由m2－3m＋2＝0得m＝1或m＝2，即m＝1或m＝2时，z为实数． (2)由m2－3m＋2≠0得m≠1且m≠2， 即m≠1且m≠2时，z为虚数． (3)由得m＝－， 即m＝－时，z为纯虚数． 12．已知为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z. 解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)， 由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i， 即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，则有 解得或所以z＝－1或z＝－1＋3i. 13．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i. (1)求|z|；(2)若z2＋az＋b＝，求实数a，b的值． 解：z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i. (1)|z|＝ ＝. (2)z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b ＝2i＋a＋ai＋b＝a＋b＋(a＋2)i， ∵＝1－i，∴a＋b＋(a＋2)i＝1－i， ∴∴a＝－3，b＝4. 14．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2. 解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i， ∴z1－2＝＝＝＝－i，∴z1＝2－i. 设z