课后提升练(9) 复数的三角形式及其运算（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册（人教B版2019）

课后提升练(九)　复数的三角形式及其运算 [对应学生用书P124] 1．复数1＋i改写成三角形式，正确的是(　　) A．2(cos ＋isin)　 　 B．2(cos ＋isin) C．2(cos ＋isin) D．2(cos ＋isin) B　解析：1＋i＝2(＋i)＝2(cos ＋isin). 2．复数z＝－sin 100°＋icos 100°的辐角主值是(　　) A．80°　　　 B．100°　　　 C．190°　　　 D．260° C　解析：z＝－sin 100°＋icos 100°＝－cos 10°－isin 10° ＝cos 190°＋isin 190°，∴arg z＝190°. 3．已知复数z1＝(cos ＋isin)，z2＝(cos ＋isin)，则z1z2的代数形式是(　　) A．(cos ＋isin) B．(cos ＋isin) C．－i D．＋i D　解析：z1z2＝× ＝(cos ＋isin)＝(＋i)＝＋i. 4．2÷的三角形式是(　　) A．2(cos ＋isin) B．(cos ＋isin) C． D．(cos ＋isin) C　解析：原式＝＝. 5．设3＋4i的辐角主值为θ，则(3＋4i)·i的辐角主值是(　　) A．＋θ B．－θ C．θ－ D．－θ A　解析：根据复数乘法的几何意义得，(3＋4i)·i对应的向量是由复数3＋4i对应的向量绕点O按逆时针方向旋转得到的，所以(3＋4i)·i的辐角主值为θ＋. 6.(cos ＋isin)×(cos ＋isin)＝________．(用代数形式表示) －3－3i　解析：原式 ＝3 ＝3(cos ＋isin)＝3(－－i)＝－3－3i. 7．复数z＝cos －isin的辐角主值为________． 　解析：因为z＝cos －isin＝cos (2π－)＋isin(2π－)＝cos ＋isin，所以辐角主值为. 8．把下列复数改写成三角形式 (1)－1－i；(2)ai(a<0)；(3)－(sin θ－icos θ) . 解：(1)－1－i＝(－－i)＝(cos ＋isin). (2)因为a<0，所以ai在复平面内所对应的点在y轴的负半轴上，取θ＝－， 所以ai＝－a. (3)－(sin θ－icos θ)＝(－sin θ＋icos θ) ＝. 9．写出下列复数z的倒数的模与辐角． (1)z＝10(cos ＋isin)； (2)z＝2(sin ＋icos). 解：(1)＝ ＝ ＝. 所以的模为，辐角为－＋2kπ，k∈Z. (2)z＝2(sin ＋icos)＝－i＝2(－i) ＝2. ＝＝(cos ＋isin). 所以的模为，辐角为＋2kπ，k∈Z. 10．若复数z＝(a＋i)2的辐角是，则实数a的值是(　　) A．1　　　　 B．－1　　　 　 C．－　　　　 D．－ B　解析：∵z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai, arg z＝， ∴ ，∴a＝－1. 11．在复平面内，把与复数a＋bi(a，b∈R)对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后所得向量对应的复数为(　　) A．a－bi B．－a＋bi C．b－ai D．－b＋ai C　解析：所求复数为＝＝－(a＋bi)i＝b－ai. 12．设z1＝1－2i，z2＝1＋i，z3＝－1＋3i，则arg z1＋arg z2＋arg z3＝(　　) A． B． C． D． C　解析：∵z1·z2·z3＝(1－2i)(1＋i)(－1＋3i) ＝(3－i)(－1＋3i)＝10i， ∴arg z1＋arg z2＋arg z3＝＋2kπ，k∈Z. ∵arg z1∈(，2π)，arg z2∈(0，)，arg z3∈(，π)， ∴arg z1＋arg z2＋arg z3∈(2π，)， ∴arg z1＋arg z2＋arg z3＝. 13．arg(3－i)＋arg(2－i)＝________． 　解析：(3－i)(2－i)＝5－5i＝5， ∵arg(3－i)∈(，2π)，arg(2－i)∈(，2π)， ∴arg(3－i)＋arg(2－i)∈(3π，4π). ∴arg(3－i)＋arg(2－i)＝－＋4π＝. 14．复平面内向量对应的复数为2＋i，A点对应的复数为－1，现将绕A点顺时针方向旋转90°后得到的向量为，则点C对应的复数为________． －2i　解析：向量对应的复数为＝＝(2＋i)·(－i)＝1－2i， ∵＝＋，∴对应的复数为－1＋(1－2i)＝－2i.即点C对应的复数为－2i. 15．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，已知z1·z的对应点在虚轴的负半轴上，且arg z2∈(0，π)，求z2的代