课后提升练(8) 复数的乘法与除法（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册（人教B版2019）

课后提升练(八)　复数的乘法与除法 [对应学生用书P122] 1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为(　　) A．6－4i　　 　　　　　 B．－6－4i C．6＋4i D．－6＋4i D　解析：(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i. 2．若z＝，则复数＝(　　) A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i D　解析：∵z＝＝＝2－i，∴＝2＋i. 3．若1＋3i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c∈R)的一个根，则方程的另一个根为(　　) A．3＋i B．1－3i C．3－i D．－1＋3i B　解析：根据复数范围内，实系数一元二次方程的两个虚数根互为共轭复数知，另一个根为1－3i. 4．若a为实数，且＝3＋i，则a＝(　　) A．－4 B．－3 C．3 D．4 D　解析：＝＝＋i＝3＋i， 所以解得a＝4. 5．(多选题)下面是关于复数z＝的四个命题，其中的真命题为(　　) A．|z|＝2 B．z2＝2i C．z的共轭复数为1＋I D．z的虚部为－1 BD　解析：∵z＝＝－1－i， ∴|z|＝＝，∴A是假命题； ∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴B是真命题； ∵＝－1＋i，∴C是假命题； ∵z的虚部为－1，∴D是真命题． 6．已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则a的值为________，b的值为________． 2　1　解析：因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1. 7．已知z是纯虚数，是实数，那么z＝________． －2i　解析：设z＝bi(b∈R，b≠0)，则＝＝＝＝＋i是实数，所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i. 8．已知复数z＝1＋i. (1)设ω＝z2＋3－4，求ω； (2)若＝1－i，求实数a，b的值． 解：(1)因为z＝1＋i， 所以ω＝z2＋3－4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i. (2)因为z＝1＋i， 所以＝＝1－i， 即＝1－i， 所以(a＋b)＋(a＋2)i＝(1－i)i＝1＋i， 所以解得 9．已知1－i是关于x的方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)的一个根，求实数a，b的值． 解：法一：因为1－i是关于x的方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)的一个根， 所以a(1－i)2＋b(1－i)＋1＝0， 即－a＋b＋1－(2a＋b)i＝0， 根据复数相等的定义，得 解得a＝，b＝－. 法二：根据复数范围内，实系数一元二次方程的虚数根的情况知，1＋i是方程的另一个根， 所以 解得a＝，b＝－. 10．设a是实数，且∈R，则实数a＝(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 B　解析：因为∈R，所以不妨设＝x，x∈R，则1＋ai＝(1＋i)x＝x＋xi，所以有所以a＝1. 11．复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a的值为(　　) A．1 B．2 C． D． C　解析：由z＝－ai，a∈R得z2＝()2－2××ai＋(ai)2＝－a2－ai，因为z2＝－i，所以，解得a＝. 12．(多选题)设z1，z2是复数，则下列命题中是真命题的是(　　) A．若|z1－z2|＝0，则1＝2 B．若z1＝2，则1＝z2 C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2 D．若|z1|＝|z2|，则z＝z ABC　解析：A，|z1－z2|＝0⇒z1－z2＝0⇒z1＝z2⇒1＝2，真命题； B，z1＝2⇒1＝z2，真命题； C，|z1|＝|z2|⇒|z1|2＝|z2|2⇒z1·1＝z2·2，真命题； D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z＝1， z＝－1，即z≠z，假命题． 13．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则＝________． ±i　解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi， 由z＋＝4，z·＝8得 ∴ ∴z＝2＋2i，＝2－2i或z＝2－2i，＝2＋2i， ＝＝－i或＝＝i.∴＝±i. 14．若关于x的方程x2＋(1＋2i)x－(3m－1)i＝0有实根，则纯虚数m＝________． i　解析：设m＝bi(b∈R，且b≠0)，x0为方程的一个实根， 由题意得x＋(1＋2i)x0－(3bi－1)i＝0， ∴(x＋x0＋3b)＋(2x0＋1)i＝0， ∴ 解得 ∴m＝i. 15．已知复数z在复平面上对应的点在第二象限，且满足z2＝. (1)求复数z； (2)设z，z2，z3在复平面上对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积． 解：(1)设z＝a＋bi(a＜0，b＞0)，则＝a－bi， 故z2＝a2－b2＋2abi＝＝a－bi. ∴a2－b2＝a，2ab＝