课后提升练(4) 正弦定理与余弦定理的应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册（人教B版2019）

课后提升练(四)　正弦定理与余弦定理的应用 [对应学生用书P109] 1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10°　　　　　 B．北偏西10° C．南偏东10° D．南偏西10° B　解析：由题意可知，∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，故A在B的北偏西10°. 2．(多选题)某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 km，那么x的值为(　　) A．　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．3 AB　解析：依题意，由余弦定理，得()2＝x2＋32－2x×3×cos 30°，即x2－3x＋6＝0，解得x＝或x＝2. 3．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　) A．30(＋1) m B．120(－1) m C．180(－1) m D．240(－1) m B　解析：由题可知，BC＝60tan 60°－60tan (90°－75°) ＝60(－)＝60(－)＝120(－1). 4．有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长(　　) A．5 m B．10 m C．10 m D．10 m C　解析：如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′中，∠B′＝30°，∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10 m. 在△BAB′中，由正弦定理， 得BB′＝＝＝10(m). ∴坡度要延长10 m． 5．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北45°(即∠BAC＝45°)的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在北偏东15°(即∠ABC＝75°)的方向上，仰角∠DBC为30°，则此山的高度CD＝________． 400 m　解析：△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝600，∠ABC＝75°，∴∠ACB＝60°，由正弦定理得＝，BC＝＝1 200， Rt△BCD中，∠DBC＝30°， ∴CD＝BC tan ∠DBC＝1 200×＝400， 则山高CD为400 m． 6．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为________，乙楼高为________． 20 m　 m　解析：如图所示，在Rt△BAC中，∠BCA＝60°，AC＝20 m，∴AB＝AC·tan 60°＝20(m)， BC＝＝＝40 (m). 在△BCD中，∠BDC＝120°，∠DBC＝30°， 由正弦定理＝得， DC＝＝＝(m). ∴甲楼高为20 m，乙楼高为 m． 7．如图，位于A处的海上观测站获悉，在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救，在A处南偏西30°且相距20海里的C处有一艘救援船，该船接到观测站通告后立即前往B处援助，则sin ∠ACB＝________． 　解析：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，∴BC＝20．由正弦定理得sin ∠ACB＝＝＝. 8．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12 n mile；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8 n mile；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°，求： (1)A处与D处之间的距离； (2)灯塔C与D处之间的距离． 解：由题意，画出示意图． (1)在△ABD中，由已知得∠ADB＝60°，B＝45°， AB＝12 n mile. 由正弦定理得AD＝ ＝24(n mile). (2)在△ADC中，由余弦定理得 CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC cos 30° ＝242＋(8)2－2×24×8×＝192， 故CD＝8 n mile. 9．如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行20(－)海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行40 海里后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应沿怎样的方向航行，需要航行的距离是多少？ 解：在△ABC中，AB＝20(－)， BC＝40，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°. 由余弦定理可得 AC＝ ＝ ＝40. 由正弦定理＝，得 sin ∠BAC＝＝＝. ∴∠BAC＝45°，75°－∠BAC＝30°. 即此船应沿北偏东30°方向