8.1.1&8.1.2 向量数量积的概念、向量数量积的运算律（4知识点+7题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第三册）

8.1.1 向量数量积的概念 8.1.2 向量数量积的运算律 课程标准 学习目标 （1）理解平面向量数量积的概念及物理意义，会计算平面向量的数量积； （2）通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义，会求投影向量； （3）进一步掌握数量积的运算，掌握平面向量数量积的运算律及常用公式； （4）能用数量积的运算性质和运算律解决模、垂直、夹角、证明问题。 （1）通过物理学中力对物体做功引出向量的数量积概念，培养学生数学抽象的素养； （2）利用向量的投影领会向量的数量积的几何意义，提高几何直观的数学素养； （3）通过向量的加法与数乘运算律得到数量积的运算律，培养数学抽象的素养； （4）利用平面向量的运算律进行数量积运算，提升学生数学运算的核心素养。 知识点01 两个向量的夹角 1、定义：给定两个非零向量，，在平面内任选一点，作，，则称内的为向量与向量的夹角，记作． 2、性质：当时，与同向；当时，与反向． 【即学即练1】（2023·甘肃兰州·高一期末）等边三角形中，与的夹角为（ ） A． B． C． D． 知识点02 向量数量积的定义 1、向量数量积的定义 （1）定义：一般地，当与都是非零向量时，称为向量与的数量积(也称内积)； （2）记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0； （3）由定义可知，两个非零向量与的数量积是一个实数，这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同。 2、向量数量积的性质：设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）； （5） 【即学即练2】（2024·全国·高一专题练习）设和是互相垂直的单位向量，且，，则等于（ ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 知识点03 向量的投影 1、投影与投影向量：设，是两个非零向量，，， 考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． 2、数量积的几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积。 投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数。 【即学即练3】（2023·湖北恩施·高一期末）已知向量 满足 ，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 知识点04 向量数量积的运算律 1、运算律 （1）； （2）(λ为实数)； （3）； （4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． 2、常用公式 【即学即练4】（2023·河北廊坊·高三期中）已知单位向量满足，则（ ） A． B． C． D． 【题型一：向量数量积的相关概念】 例1．（2023·全国·高一课时练习）已知平面向量，，且，则（ ） A．1 B．14 C． D． 变式1-1．（2023·陕西咸阳·高一阶段练习）在等式①；②；③；④若，且，则；其中正确的命题的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1-2．（2023·浙江绍兴·高一期末）（多选）下面给出的关系式中，不正确的是（ ） A． B． C． D． 变式1-3．（2023·河南焦作·高一阶段练习）下列四个命题中，正确的个数是（ ） ①；②“”等价于“存在实数，使得”；③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【方法技巧与总结】 两向量的数量积是两向量之间的一种乘法运算，它与两数之间的乘法有本质的区别。解决这一类题需要把握好数量积的定义、性质及运算律，注意零向量与数字0的差异，实数乘积运算与向量数量积运算的差异，向量数量积不满足向量结合律。 【题型二：向量数量积的简单计算】 例2．（2023·湖南益阳·高一期末）已知平面向量，满足：，在上的投影向量为，则 . 变式2-1．（2024·全国·高一专题练习）已知，，与的夹角是，则等于（ ） A． B． C． D． 变式2-2．（2024·全国·高三模拟预测）已知单位向量满足，则（ ） A． B． C．0 D． 变式2-3．（20