课时梯级训练(17) 离散型随机变量的方差（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

课时梯级训练(17)　离散型随机变量的方差 1．(2023·山东青岛高二期末)已知随机变量X的分布列如下表所示：随机变量Y＝－3X＋1，则下列选项正确的为(　　) X 0 1 P 0.2 0.8 A.E(X)＝0.5 B．E(Y)＝1.4 C．D(X)＝0.52 D．D(Y)＝1.44 D　解析：由题意可得：随机变量X服从两点分布，其中E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8，D(X)＝(0－0.8)2×0.2＋(1－0.8)2×0.8＝0.16.又因为Y＝－3X＋1，所以E(Y)＝－3E(X)＋1＝－1.4，D(Y)＝9D(X)＝1.44，故A，B，C错误，D正确. 故选D. 2．(2023·湖北武汉武汉外国语学校高二检测)设随机变量X的分布列如图所示，则D(2X＋7)＝(　　) X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 0.1 A.0.84 B．3.36 C．1.68 D．10.36 B　解析：因为E(X)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.1＝2.4，D(X)＝(1－2.4)2×0.2＋(2－2.4)2×0.3＋(3－2.4)2×0.4＋(4－2.4)2×0.1＝0.84，所以D(2X＋7)＝22D(x)＝4×0.84＝3.36. 故选B. 3．(2023·重庆渝北高二阶段检测)已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝，则E(3X－2)和D(3X－2)分别为(　　) A．3，2 B．－1，2 C．－1，－ D．－1， B　解析：因为随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝，所以P(X＝0)＝，可得E(X)＝0×＋1×＝，D(X)＝(0－)2×＋(1－)2×＝，所以E(3X－2)＝3E(X)－2＝3×－2＝－1，D(3X－2)＝32×D(X)＝9×＝2.故选B. 4．在同样条件下，用甲、乙两种方法测量某零件长度(单位：mm)，由大量结果得到的分布列如图，则下列说法正确的是(　　) 甲 ξ 48 49 50 51 52 P 0.1 0.1 0.6 0.1 0.1 乙 η 48 49 50 51 52 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 A．甲方法测量的结果比乙测量的结果波动小 B．甲方法测量的结果比乙测量的结果波动大 C．甲方法测量的结果比乙测量的结果波动相当 D．无法比较甲乙结果的波动大小 A　解析：由已知得E(ξ)＝48×0.1＋49×0.1＋50×0.6＋51×0.1＋52×0.1＝50，E(η)＝48×0.2＋49×0.2＋50×0.2＋51×0.2＋52×0.2＝50，所以D(ξ)＝(48－50)2×0.1＋(49－50)2×0.1＋(50－50)2×0.6＋(51－50)2×0.1＋(52－50)2×0.1＝1，D(η)＝(48－50)2×0.2＋(49－50)2×0.2＋(50－50)2×0.2＋(51－50)2×0.2＋(52－50)2×0.2＝2，D(ξ)＜D(η)，所以甲方法测量的结果比乙方法测量的结果波动小，故选A. 5．(多选)(2023·山东济南高二阶段检测)若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝，则(　　) A．E(X)＝ B．E(2X＋3)＝3 C．D(X)＝ D．D(3X＋2)＝ AC　解析： 因为随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝，所以P(X＝1)＝，所以E(X)＝0×＋1×＝，D(X)＝×(0－)2＋×(1－)2＝，故AC选项正确．又E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝2×＋3＝，D(3X＋2)＝9D(X)＝9×＝，故BD选项错误．故选AC. 6．(2023·河北保定高二阶段检测)随机变量ξ的取值为0，1，2，若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________． 　解析：P(ξ＝0)＝，则P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝； E(ξ)＝P(ξ＝1)＋2P(ξ＝2)＝1， 故P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝. D(ξ)＝(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＝. 7．(2023·山东淄博高二期末)随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P n 则D(X)＝__________． 答案：　解析：由概率之和为1可得＋＋n＝1，解得n＝，故E(X)＝1×＋2×＋3×＝，D(X)＝×(1－)2＋×(2－)2＋×(3－)2＝. 8．(2023·广东茂名高二期中)袋子中装有大小形状完全相同的5个小球，其中红球3个，白球2个，现每次从中不放回地取出一球，直到取到白球停止． (1)求取球次数X的分布列； (2)求取球次数X的期望和方差． 解：(1)由题设知，X＝1，2，3，4， P(X＝1)＝， P(X＝2