课时梯级训练(16) 离散型随机变量的均值（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

课时梯级训练(16)　离散型随机变量的均值 1．(2023·浙江温州高二期中)李老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表： ξ 1 2 3 P ！ ？ ！ 现让小王同学计算ξ的数学期望，尽管“？”处的数值完全无法看清，且两个“！”处字迹模糊，但能断定这两个“！”处的数值相同，则E(ξ)＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　解析：设P(X＝1)＝P(X＝3)＝a，P(X＝2)＝b，则a＋b＋a＝1，即2a＋b＝1，所以E(ξ)＝1×a＋2×b＋3×a＝4a＋2b＝2(2a＋b)＝2.故选B. 2．(2023·福建三明高二阶段检测)已知随机变量X的分布列如下表所示 X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 b 0.2 0.1 则E(2X－5)的值等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 A　解析：由题得0.1＋0.2＋b＋0.2＋0.1＝1，所以b＝0.4，所以E(X)＝1×0.1＋2×0.2＋3×0.4＋4×0.2＋5×0.1＝3，所以E(2X－5)＝2E(X)－5＝2×3－5＝1.故选A. 3．(多选)(2023·湖北黄冈高二阶段检测)已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 0.3 m 0.1＋m 则(　　) A.m＝0.3 B．m＝0.4 C．E(X)＝2.1 D．E(X)＝2.6 AC　解析：由0.3＋m＋0.1＋m＝1，得m＝0.3，则E(X)＝1×0.3＋2×0.3＋3×0.4＝2.1. 故选AC. 4．(2023·浙江台州高二期末)在单项选择题中，每道题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率为0.25.为了减少随机选择也得分的影响，某次考试单项选择题采用选错扣分的规则，选对得6分，选错扣a分．若随机选择时得分的均值为0分，则a的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　解析：选对得6分，选错扣a分(a>0)，则有0.25×6＋(1－0.25)(－a)＝0，解得a＝2. 故选B. 5．(2023·山东枣庄高二期末)某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记X为其中有奖的瓶数，则E(5X＋1)为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 B　解析：依题意，X的可能值为0, 1, 2， 则P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 因此E(X)＝0×＋1×＋2×＝， 所以E(5X＋1)＝5E(X)＋1＝5.故选B. 6．(2023·福建三明高二期中)随机变量ξ的分布如下表，则E(2ξ＋1)＝________． ξ 0 2 4 P 0.4 a 0.3 答案：4.6　解析：由0.4＋a＋0.3＝1，可得a＝0.3，则E(ξ)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8，则E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝2×1.8＋1＝4.6. 7．掷一枚质地均匀的骰子，若将掷出的点数记为得分，则得分的均值为______． 答案：　解析：设得分为X，则X可能的取值为1，2，3，4，5，6，且P(X＝i)＝，其中i＝1，2，3，4，5，6，则得分的均值E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝. 8．(2023·山东临沂高二阶段检测)已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p(0＜p＜1)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围为__________． 答案：(0，)　解析：由题意知X的可能取值为1，2，3， P(X＝1)＝p， P(X＝2)＝p(1－p)， P(X＝3)＝(1－p)2， 所以E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2>1.75， 解得p>或p<. 因为p∈(0, 1)，所以p∈(0, ). 9．(2023·山西吕梁高二期中)为迎接2023年美国数学竞赛(AMC)，选手们正在刻苦训练，积极备战，假设模拟考试成绩从低到高分为1，2，3三个等级，某选手一次模拟考试所得成绩等级X的分布列如下： X 1 2 3 P 0.3 0.5 0.2 现进行两次模拟考试，且两次互不影响，该选手两次模拟考试中成绩的最高等级记为ξ. (1)求此选手两次成绩的等级不相同的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望． 解：(1)∵此选手连续两次成绩的等级相同的概率为0.32＋0.52＋0.22＝0.38， ∴此选手两次成绩的等级不相同的概率为1－0.38＝0.62. (2)由题意可知，ξ的所有可能取值为1，2，3， ∵P(ξ＝1)＝0.3×0.3＝