课时梯级训练(11) 二项式系数的性质（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

课时梯级训练(11)　二项式系数的性质 1．已知(1＋x)n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　) A．29 B．210 C．211 D．212 A　解析：由题意得C＝C，由组合数性质得n＝10，由二项式系数的性质可得，奇数项的二项式系数和为2n－1＝29. 2．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为(　　) A．2n－1 B．2n－1 C．2n＋1－1 D．2n C　解析：方法一　令x＝1，得1＋2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－1. 方法二　令n＝1，知各项系数和为3，排除选项A，B，D. 3．若(1－2x)2 022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 022x2 022，则a1＋a2＋…＋a2 022＝ (　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 B　解析：令x＝0，代入得a0＝1，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 022＝1，所以a1＋a2＋…＋a2 022＝0. 故选B. 4．(多选)关于(a－b)11的说法，正确的是(　　) A．展开式中的二项式系数之和为2 048 B．展开式中只有第6项的二项式系数最大 C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小 ACD　解析：由二项式系数的性质知，(a－b)11的二项式系数之和为211＝2 048，故选项A正确；因为(a－b)11的展开式共有12项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，故选项C正确，选项B错误；因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，故选项D正确．故选ACD. 5．(多选)(x＋)6的展开式中，则下列结论正确的是(　　) A．展开式共6项 B．常数项为64 C．所有项的系数之和为729 D．所有项的二项式系数之和为64 CD　解析：(x＋)6展开式的总项数是7，A项不正确；(x＋)6展开式的常数项为Cx6－3()3＝160，B项不正确；取x＝1，得(x＋)6展开式的所有项的系数之和为36＝729，C项正确；由二项式系数的性质得(x＋)6展开式的所有项的二项式系数之和为26＝64，D项正确. 故选CD. 6．在(ax－)4的展开式中各项系数之和是16，则a＝______． 答案：－1或3　解析：由题意可得(a－1)4＝16，a－1＝±2，解得a＝－1或a＝3. 7．(1＋)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________． 答案：6x　解析：因为8<C＋C＋…＋C<32，即8<2n<32，且n∈N*，所以n＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T3＝C()2＝6x. 8．设(5x－)n展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝240，求展开式中x的系数． 解：由题意M＝4n，N＝2n， 因为M－N＝240，所以4n－2n＝240. 因为n∈N*，解得2n＝16，所以n＝4， Tk＋1＝C(5x)4－k(－)k ＝(－1)k54－kCx4－k， 令4－k＝1，解得k＝2. 故展开式中x的系数为(－1)254－2C＝150. 9．已知(＋2x)n，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数． 解：因为C＋C＝2C，整理得n2－21n＋98＝0， 所以n＝7或n＝14， 当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5， T4的系数为C()423＝； T5的系数为C()324＝70； 当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8， 所以T8的系数为C()727＝3 432. 10．设(2x＋1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0－a1＋a2－a3＋a4的值为(　　) A．1 B．－1 C．81 D．－81 A　解析：根据题意，(2x＋1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，令x＝－1，可得[(2×(－1)＋1]4＝a0－a1＋a2－a3＋a4，则有a0－a1＋a2－a3＋a4＝1. 11．(多选)已知(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，则(　　) A．a0＝－32 B．a2＝－80 C．a3＋4a4＝0 D．a0＋a1＋…＋a5＝1 ABC　解析：令x＝－1得(－1－1)5＝a0，即a0＝－32，故A项正确．令x＝0得(－1)5＝a0＋a1＋…＋a5，即a0＋a1＋…＋a5＝－1，故D项不正确．令x＋1＝y，则(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5就变为(y－2)5＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a5y5，根据二项式定理知，a2