课时梯级训练(4) 排列数公式（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

课时梯级训练(4)　排列数公式 1．从2，3，5，7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有(　　) A．6个 B．10个 C．12个 D．16个 C　解析：符合题意的商有A＝4×3＝12种结果． 2．信号兵有3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号有(　　) A.1种 B．3种 C．6种 D．27种 C　解析：A＝3×2×1＝6. 3．排列数A(n>r>1，n，r∈Z)恒等于(　　) A．A B．(n＋1)(r＋1)A C．nrA D．nA D　解析：由题意得， A＝＝n·＝nA. 4．已知3A＝4A，则n等于(　　) A．5 B．7 C．10 D．14 B　解析：由×3＝×4，得(11－n)(10－n)＝12，解得n＝7或n＝14(舍去). 5．(多选)下列等式中，正确的是(　　) A．(n＋1)A＝A B．＝(n－2)! C．A＝A D．A＝A ABD　解析：结合排列数的两个公式，通过计算可知选项A，B，D均正确． 6．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是(　　) A．8 B．12 C．16 D．24 B　解析：设车站数为n，则A＝132，n(n－1)＝132，解得n＝12. 7．若集合P＝{x|x＝A，m∈N*}，则集合P中共有________个元素. 答案：3　解析：因为x＝A，所以有m∈N*且m≤4，所以P中的元素为A＝4，A＝12，A＝A＝24，即集合P中有3个元素． 8．若S＝A＋A＋A＋A＋…＋A，则S的个位数字是________． 答案：3　解析：∵当n≥5时，A的个位数是0，故S的个位数取决于前四个排列数，又A＋A＋A＋A＝33，故S的个位数字是3. 9．解不等式A<6A. 解：原不等式可化为 <6×， 即1<6×， 化简得m2－15m＋50<0，即(m－5)(m－10)<0，解得5<m<10，又即m≤6，且m∈N*，所以m＝6. 所以不等式的解集为{6}． 10．如果一个正四位数的千位数a、百位数b、十位数c和个位数d满足关系(a－b)(c－d)<0，则称其为“彩虹四位数”，例如2 012就是一个“彩虹四位数”，那么，正四位数中“彩虹四位数”的个数是多少？ 解：构成“彩虹四位数”可以分为两类： 一类是a>b且c<d，此时共可得到45×45＝2 025个“彩虹四位数”； 一类是a<b且c>d，此时共可得到36×45＝1 620个“彩虹四位数”(首位不能为0). 据分类加法计数原理得，正四位数中“彩虹四位数”的个数为2 025＋1 620＝3 645. 11．将乘积(a1＋a2＋a3＋a4)(b1＋b2)(c1＋c2＋c3)展成多项式后的项数是(　　) A．4＋2＋3 B．4×2×3 C．5＋3＋4 D．5×3×4 B　解析：由题设每项的字母分别取自三个括号内的项，应分三个步骤取出，故由分步乘法计数原理可得n＝4×2×3，故选B. 12．满足不等式>12的n的最小值为______． 答案：10　解析：由排列数公式得>12，即(n－5)(n－6)>12，解得n>9或n<2. 又n≥7，所以n>9，又n∈N*，所以n的最小值为10. 13．求证：A＋mA＋m(m－1)A＝A(n，m∈N*，n≥m>2). 证明：因为左边 ＝＋m＋m(m－1) ＝ ＝ ＝＝ ＝A＝右边， 所以原等式成立． 14．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”．从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情形种数共有多少种？ 解：根据题意，甲、乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，分2种情况讨论： ①甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有A＝6种情况，此时有3×6＝18种名次排列情况； ②甲不是最后一名，甲、乙需要排在第二、三、四名，有A＝6种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有A＝6种情况，此时有6×6＝36种名次排列情况．则一共有36＋18＝54种不同的名次排列情况． 学科网（北京）股份有限公司 $$