6.2.2 第1课时 排列数公式(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦排列数公式这一核心知识点，以计数原理为基础推导排列数公式，涵盖定义、符号表示、阶乘概念及乘积式与阶乘式，进而延伸至无约束条件的排列问题，构建从原理到应用的完整知识支架。 通过问题情境（如三位数构成）引导学生用数学眼光观察现实，推导与证明环节（如解方程、求证）发展逻辑推理的数学思维，实际应用（信号旗问题）强化数学建模与运算的表达能力。课中例题与规律方法助力教学，课后训练与小结帮助学生查漏补缺。

第一课时　排列数公式 课标要求 1.能利用计数原理推导排列数公式（逻辑推理）. 2.能运用排列数公式解决简单的实际问题（数学建模、数学运算）. 知识点一｜排列数及排列数公式 问题　（1）“从写有1，2，3，4的卡片中选取3张，能构成多少个无重复数字的三位数？” （2）问题（1）中每一个三位数是取出的卡片按“百、十、个”的顺序排成的一个排列，不同的排列种数就是三位数的个数.若记表示三位数的个数，你能得出的意义和的值吗？ （3）根据问题（2），你认为有多少个不同排列数？ 【知识梳理】 排列数定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有　　　　的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 符号表示 全排列 把n个不同的元素全部取出的一个排列 阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用　　表示.于是，n个元素的全排列数公式可以写成＝　　.规定0！＝　　 排列数 公式 乘积式 ＝　　　　　　（m，n∈N*，且m≤n） 阶乘式 ＝　　　　（m，n∈N*，且m≤n） 　　提醒：排列数公式的特征：m个连续自然数之积，最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1；公式中的n，m应该满足n，m∈N*，m≤n. 【例1】　（链接教材P19例3）（1）用排列数表示：（55－n）·（56－n）…（69－n）（n∈N*，且n＜55）； （2）计算：. 【规律方法】 排列数的计算方法 （1）排列数的计算主要是利用排列数公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数（因式）的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用； （2）应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量. 训练1　（1）7×8×9×…×15可表示为（　　） A.　　　 B. C.　　 　D. （2）＝　　　　. 知识点二｜排列数的计算与证明 【例2】　（1）解方程：＝140； （2）求证：－＝m. 【规律方法】 排列数的第二个公式＝适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n，m∈N*，m≤n”的运用. 训练2　（1）不等式＜6的解集为（　　） A.[2，8] B.[2，6] C.（7，12） D.{8} （2）求证：＝（n＋1）. 知识点三｜无约束条件的排列问题 【例3】　某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？ 【规律方法】 无约束条件的排列问题 无约束条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别限制的问题.这一类型题目相对简单，分清元素和位置即可.把m个元素按一定顺序排列到n（n≥m）个位置上，排列数为，从n个元素中选 m个（m≤n），排列到m个位置上，排列数也是. 训练3　用排列数表示下列问题： （1）利用1，2，3，4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ （2）一天有6节课，安排6门学科，一天的课程表有几种排法？ 1.－＝（　　） A.480 B.520 C.600 D.1 320 2.一个禁毒宣传讲座要到四个学校开讲，一个学校讲一次，则不同的次序种数为（　　） A.4 B.44 C.24 D.48 3.不等式－n＜7的解集为　　　　. 4.用0～9这10个数字，可以组成　　　　个没有重复数字的三位数. 课堂小结 1.理清单 （1）排列数及排列数公式； （2）排列数的计算与证明； （3）无约束条件的排列问题. 2.应体会 （1）排列数的计算与证明常应用方程思想； （2）利用排列数公式解决实际问题时，要注意分类讨论思想的应用. 3.避易错 忽视中“m，n∈N*”这个条件. 提示：完成课后作业　第六章　6.2　6.2.2　第一课时 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.2　排列数 第一课时　排列数公式 【例1】　解：（1）因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－（55－n）＋1＝15（个）数，所以（55－n）（56－n）…（69－n）＝. （2）原式＝ ＝＝＝. 训练1　（1）D　（2）－ 解析：（1）7×8×9×…×15＝＝. （2）＝＝＝－＝－. 【例2】　解：（1）因为所以x≥3，x∈N*. 由＝140得（2x＋1）2x（2x－1）（2x－2）＝140x（x－1）（x－2）. 化简得4x2－35x＋69＝0， 解得x1＝3，x2＝（舍去）. 所以原方程的解为x＝3. （2）证明：∵－＝－＝·（－1）＝·＝m·＝m，∴－＝m. 训练2　（1）D　由＜6，得＜6×，化简得x2－19x＋84＜0，解得7＜x＜12①，又所以2＜x≤8②，由①②及x∈N*，得x＝8. （2）证明：因为＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1，（n＋1）＝（n＋1）·n！＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1，所以＝（n＋1）. 【例3】　解：分3类：第1类，用1面旗表示的信号有种； 第2类，用2面旗表示的信号有种； 第3类，用3面旗表示的信号有种. 由分类加法计数原理，所求的信号种数是 ＋＋＝3＋3×2＋3×2×1＝15， 故一共可以表示15种不同的信号. 训练3　解：（1）本题实质是求从1，2，3，4四个数字中，任意选出三个数字排成一排，有多少种排法的排列问题，故排列数，即为没有重复数字的三位数的个数. （2）这是6个元素的全排列问题，其排列数，即为一天的课程的排法种数. 随堂检测 1.C　＝12×11×10＝1 320，＝10×9×8＝720，故－＝1 320－720＝600. 2.C　由题意可知，不同的次序种数为＝4×3×2×1＝24. 3.{3，4}　解析：由－n＜7，得（n－1）·（n－2）－n＜7，整理得n2－4n－5＜0，解得－1＜n＜5.又n－1≥2且n∈N*，即3≤n＜5且n∈N*，所以n＝3或n＝4. 4.648　解析：第1步，确定百位上的数字，可以从1～9这9个数字中取出1个，有种取法；第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有种取法.根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为×＝9×9×8＝648. 6.2.2　排列数 第一课时　排列数公式 问题　（1）提示：有4×3×2＝24个无重复数字的三位数. （2）提示：表示从n个不同元素中取出三个元素的排列数，即＝n（n－1）（n－2）. （3）提示：＝n×（n－1）×（n－2）×…×（n－m＋1）. 知识梳理 不同排列　n！　n！　1　n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）　 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $