7.4.1 第2课时 二项分布的综合问题（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第2课时　二项分布的综合问题 [对应学生用书P49] 学习目标 1．掌握二项分布的均值和方差公式.2.能利用二项分布解决一些简单的实际问题． 知识点　二项分布的均值与方差 二项分布的均值与方差 如果X～B(n, p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 特别地，若随机变量X服从参数为p的两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). [例1] 设ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C()k·()5－k(k＝0，1，2，3，4，5)，则D(3ξ)＝(　　) A．10　　　　　　　　 B．30 C．15 D．5 A　解析：由ξ的分布列知ξ～B(5，)，所以D(ξ)＝5××(1－)＝，所以D(3ξ)＝9D(ξ)＝10. [变式探究] 本例条件不变，则E(3ξ＋2)＝________． 答案：7　解析：由ξ的分布列知ξ～B(5，)，所以E(ξ)＝np＝5×＝，所以E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝5＋2＝7. 对于二项分布的均值与方差，关键是通过题设确定随机变量服从二项分布，然后直接应用公式计算． [练1] (2023·湖南常德高二阶段检测)福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一，纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架；第二步裱伞面；第三步绘花刷油．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某工艺师在每个环节制作合格的概率分别为，，，只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作． (1)求该工艺师进行3次制作，恰有一件优秀作品的概率； (2)若该工艺师制作4次，其中优秀作品数为X，求X分布列及期望． 解：(1)由题意可知，制作一件优秀作品的概率为××＝，所以该工艺师进行3次制作，恰有一件优秀作品的概率P＝C××()2＝. (2)该工艺师制作4次，其中优秀作品数为X，X的所有可能取值为0，1，2，3，4， 由题意知X～B(4, )， 则P(X＝0)＝C()0×(1－)4＝， P(X＝1)＝C()1×(1－)3＝， P(X＝2)＝C()2×(1－)2＝， P(X＝3)＝C()3×(1－)1＝， P(X＝4)＝C()4×(1－)0＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以数学期望为E(X)＝4×＝. 综合应用一　二项分布的实际应用 [例2] 某车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10 kW.已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12 min，且开动与否是相互独立的．现因当地电力供应紧张，供电部门只给该车间提供50 kW的电力． (1)这10台机床能够正常工作的概率是多少？ (2)在一个工作班的8 h内，不能正常工作的时间大约是多少？ 解：每台机床正常工作的概率为＝，而且每台机床分“工作”和“不工作”两种情况， 所以工作机床台数ξ～B(10，)， P(ξ＝k)＝C×()k×()10－k(k＝0，1，2，3，…，10). (1)50 kW电力只能同时供给5台机床开动，因而10台机床同时开动的台数不超过5时都可以正常工作．这一事件的概率为P(ξ≤5). P(ξ≤5)＝C×()10＋C××()9＋C×()2×()8＋C×()3×()7＋C×()4×()6＋C×()5×()5≈0.994. (2)在电力供应为50 kW的条件下，机床不能正常工作的概率仅约为1－0.994＝0.006，从而在一个工作班的8 h内，不能正常工作的时间只有大约8×60×0.006＝2.88(min), 这说明，10台机床的工作基本上不受电力供应紧张的影响． (1)二项分布的实际应用类问题的求解步骤 ①根据题意设出随机变量； ②分析随机变量服从二项分布； ③求出参数n和p的值； ④根据二项分布的均值、方差的计算公式求解． (2)利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率． [练2] 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立． (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0； (2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用． (ⅰ)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)； (ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，