7.4.1 第1课时 二项分布（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7．4.1　二项分布 第1课时　二项分布 [对应学生用书P46] 学习目标 1．通过具体实例，了解n重伯努利试验和二项分布的概念． 2．会利用公式求服从二项分布的随机变量的概率、均值以及方差． 3．能利用二项分布概率模型解决简单的实际问题． 知识点一　n重伯努利试验 “三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大．假设李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率p1＝0.3，同时，有n个水平相同的人组成智囊团也在研究项目M，他们各自独立解决项目M的概率都是0.1． 1．现在李某单独研究项目M，且智囊团由2个人组成，也同时研究项目M，试比较李某和智囊团解决项目M的概率； 2．现在李某单独研究项目M，且智囊团由5个人组成，也同时研究项目M，试比较李某和智囊团解决项目M的概率； 3．智囊团至少有几人才能使他们解决项目M 的概率大于李某独自解决项目M的概率； 4．上述试验有什么特征？ n重伯努利试验 (1)伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验． (2)n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． (3) n重伯努利试验的特征： ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互独立． “重复”意味着各次试验成功的概率相同． [例1] 判断下列试验是不是n重伯努利试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； (2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次； (3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球． 解：(1)因为硬币的质地不同，所以试验的条件不同，所以不是n重伯努利试验． (2)某人射击且击中的概率是稳定的且结果只有两种可能，因此是n重伯努利试验． (3)每次抽取试验的结果有三种可能，因此不是 n重伯努利试验． n重伯努利试验的判断依据 (1)要看该试验是不是在相同的条件下重复进行； (2)每次试验相互独立，互不影响； (3)每次试验都只有两种结果(每种结果发生的概率稳定)，即事件发生或不发生. [练1] (多选)下列事件不是n重伯努利试验的是(　　) A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B．甲、乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C．甲、乙两名运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标” D．在相同的条件下，甲射击10次 ABC　解析：A选项，C选项是互斥事件；B选项是相互独立事件；D选项是n重伯努利试验． 知识点二　二项分布 1．王明在做一道单选题时，从A，B，C，D四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？ 2．如果王明做5道单选题，每道题都随机选1个答案，那么他做对的题数服从二项分布吗？为什么？ 3．如果王明做5道单选题，其中2道题会做，其余3道题均随机选1个答案，那么他做对的题数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？ 二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． [例2] 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响．(结果需用分数作答) (1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率； (2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率． 解：(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1， 由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P(A1)＝1－P(1)＝1－()3＝. (2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则 P(A2)＝C×()2＝， P(B2)＝C××(1－)＝， 由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝×＝. [变式探究1] 题目条件不变，求两人各射击2次，甲、乙均击中目标1次的概率． 解：记“甲击中目标1次”为事件A3， “乙击中目标1次”为事件B3， 则P(A3)＝C××＝， P(B3)＝C××＝， 所以甲、乙均击中目标1次的概率为 P(A3B3)＝×＝. [变式探究2] 题目条件不变，求两人各射击两次，甲未击中、乙击中2次的概率． 解：记“甲未击中目标”为事件A4，“乙击中2次”为事件B4， 则P(A4)＝C(1－)2＝， P(B4)＝C()2＝， 所以甲未击中，乙击中目标2次的概率为 P(A4B4)＝×＝. 利用二项分布求概率的三个步骤 (1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．