7.3.2 离散型随机变量的方差（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7.3.2　离散型随机变量的方差 [对应学生用书P43] 学习目标 1．通过具体实例，理解取有限个值的离散型随机变量的方差概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 知识点一　离散型随机变量的方差 1．定义 设离散型随机变量X的分布列如下表所示． X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记作σ(X)． 2．意义 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散． [例1] (多选)下列说法正确的是(　　) A．离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定 B．若a是常数，则D(a)＝0 C．离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度 D．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小 BCD　解析：随机变量的方差越小，随机变量越稳定，所以A项错误，其余选项均正确． 对方差、标准差概念的说明 (1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的． (2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定与波动、集中与离散程度． (3)D(X)越小，随机变量X的取值就越稳定，波动就越小． (4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． [练1] (多选)下列说法中错误的是(　　) A．离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值 B．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平 C．离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平 D．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值 ABD　解析：E(X)综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了X取值的平均水平，D(X)反映了X取值的离散程度，故选ABD． 知识点二　离散型随机变量方差的计算 1．一个结论 D(X)＝(xi－E(X))2pi＝xpi－(E(X))2． 2．性质 D(X＋b)＝D(X)，D(aX)＝a2D(X)，D(aX＋b)＝a2D(X)．　 [例2] (2023·江苏苏州高二期中)从4名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛， (1)至少选到1名女生的方法有多少种？ (2)设随机变量X表示所选2人中女生的人数，求X的分布列及期望和方差． 解：(1)从4名男生和2名女生中任选2人有C种方法，不含女生的方法C种，所以至少选到1名女生的方法有N＝C－C＝15－6＝9种． (2)随机变量X的可能取值为0，1，2. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝， D(X)＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＝. (1)求离散型随机变量X的方差的步骤 ①理解X的意义，写出X可能取的全部值； ②求X取各个值的概率，写出分布列； ③根据分布列，根据期望的定义求出E(X)； ④根据公式计算方差． (2)对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程． [练2] (2023·江苏徐州高二检测)医学上发现，某种病毒侵入人体后，人的体温会升高．记病毒侵入后人体的平均体温为X ℃.医学统计发现，X的分布列如下： X 37 38 39 40 P 0.1 0.5 0.3 0.1 (1)求出E(X)，D(X)； (2)已知人体体温为X ℃时，相当于Y＝1．8X＋32 ℃，求E(Y)和D(Y). 解：(1)由题可得E(X) ＝37×0.1＋38×0.5＋39×0.3＋40×0.1＝38.4， D(X)＝(37－38.4)2×0.1＋(38－38.4)2×0.5＋(39－38.4)2×0.3＋(40－38.4)2×0.1＝0.64. (2)由Y＝1．8X＋32可知，E(Y)＝1．8E(X)＋32＝1．8×38.4＋32＝101．12， D(Y)＝1．82×D(X)＝1．82×0.64＝2.073 6. [练3] 已知随机变量X的分布列是 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.2 0.3 0.2 0.1 试求D(X)和D(2X－1). 解：E(X)＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋