7.3.1 离散型随机变量的均值（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7.3　离散型随机变量的数字特征 7．3.1　离散型随机变量的均值 [对应学生用书P39] 学习目标 1．通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值． 2．掌握两点分布的均值． 3．会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题． 知识点一　离散型随机变量的均值 1．某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？ 2．什么是权数？什么是加权平均？ 3．如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，你能解释权数的实际含义吗？ 1．定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． 2.意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 3．两点分布的均值 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么E(X)＝p． [例1] (2023·湖北咸宁高二期末)某中学举行春季研学活动，为了增加趣味性，在研学活动中设计了一个摸奖获赠书的游戏，在一个不透明的盒子中有质地、大小相同的5个球，其中红球2个，黄球2个，蓝球1个，每次不放回的随机从盒中取一个球，当三种颜色的球都至少有一个被取出时，停止取球，游戏结束，取球次数最少将获得奖励． (1)求盒子里恰好剩下一个红球的概率； (2)停止取球时，记盒子中所剩球的个数为X，求X的分布列与数学期望． 解：(1)依题意，设事件A：盒子恰好剩下一个红球，前三次只能取两种颜色的球，第四次取第三种颜色的球，因此第四次取球只能是红球或者蓝球， 从而P(A)＝＝. (2)∵X的所有可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝2P(A)＝， P(X＝2)＝＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 求离散型随机变量的均值的步骤 (1)确定取值：根据随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值； (2)求概率：求X取每个值的概率； (3)写分布列：写出X的分布列； (4)求均值：由均值的定义求出E(X). 其中准确写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键． [练1] 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的均值是(　　) A．0.2　　　B．0.8　　　C．1　　　D．0 B　解析：方法一　因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. 方法二　由题意知，X服从两点分布，故E(X)＝0.8. [练2] (2023·浙江杭州学军中学高二阶段检测)某运动员射击一次所得环数X的分布列如下： X 7 8 9 10 P 0.2 0.3 0.3 0.2 现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ. (1)求该运动员两次都命中7环的概率； (2)求ξ的分布列； (3)求ξ的数学期望E(ξ). 解：(1)依题意，该运动员两次都命中7环的概率为P1＝0.2×0.2＝0.04. (2) ξ的可能取值为7，8，9，10， P(ξ＝7)＝2×0.2×0＋0.2×0.2＝0.04，P(ξ＝8)＝2×0.2×0.3＋0.32＝0.21，P(ξ＝9)＝2×0.2×0.3＋2×0.3×0.3＋0.32＝0.39，P(ξ＝10)＝2×0.2×0.2＋2×0.3×0.2＋2×0.3×0.2＋0.22＝0.36， 所以ξ分布列为 ξ 7 8 9 10 P 0.04 0.21 0.39 0.36 (3)由(2)知，ξ的数学期望为E(ξ)＝7×0.04＋8×0.21＋9×0.39＋10×0.36＝9.07. 知识点二　离散型随机变量均值的性质 已知随机变量X的分布列如下： X －2 －1 0 1 2 P m 1．求m的值． 2．求E(X)的值． 3．若Y＝2X－3，求E(Y). 4．若Y＝aX＋b，根据3，E(X)与E(Y)之间有什么关系？ 均值的性质 (1)若X为常数c，则E(X)＝C． (2)如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝aXi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1，2，3，…，n. E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b． [例2] 已知随机变量X的分布列如下表： X －2 －1 0 1 2 P m 求E(X). 解：由随机变量分布列的性质， 得＋＋＋m＋＝1，解得m＝. 所以E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×