7.1.2 全概率公式（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7.1．2　全概率公式 [对应学生用书P33] 学习目标 1．了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式． 2．理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率． 3．了解贝叶斯公式并会简单应用． 知识点一　全概率公式 从标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张(取后不放回)， 1．第一次抽到的卡片是偶数的概率是多少？ 2．你能否求出“第二次抽到的卡片是偶数”的概率？ 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝ [例1] 甲、乙、丙三人向同一飞机进行射击，击中飞机的概率分别为0.4，0.5，0.7. 如果一人击中飞机，飞机被击落的概率为0.2；两人击中飞机，飞机被击落的概率为0.6；三人击中飞机，飞机必被击落．求飞机被击落的概率． 解：设B表示事件“飞机被击落”，A0表示事件“三人均未击中飞机”，A1表示“三人中仅有一人击中飞机”，A2表示事件“三人中有两人击中飞机”，A3表示事件“三人同时击中飞机”． 根据题意有P(A0)＝(1－0.4)×(1－0.5)×(1－0.7)＝0.09， P(A1)＝0.4×(1－0.5)×(1－0.7)＋0.5×(1－0.4)×(1－0.7)＋0.7×(1－0.4)×(1－0.5)＝0.36， P(A2)＝0.4×0.5×(1－0.7)＋0.5×0.7×(1－0.4)＋0.4×0.7×(1－0.5)＝0.41， P(A3)＝0.4×0.5×0.7＝0.14， P(B|A0)＝0，P(B|A1)＝0.2， P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1， 根据全概率公式有P(B)＝ 两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)； (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率； (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2). [练1] 设有两箱同一种商品：第一箱内装50件，其中10件优质品；第二箱内30件，其中18件优质品. 现在随意的打开一箱，然后从箱中随意取出一件，则取到是优质品的概率是__________． 答案：　解析：设A＝{取到的是优质品}，Bi＝{打开的是第i箱}(i＝1, 2)，P(B1)＝P(B2)＝，P(A|B1)＝＝， P(A|B2)＝＝， 由全概率公式得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋ P(B2)P(A|B2) ＝. [练2] 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为1∶2，货车与客车中途停车修理的概率分别为0.002，0.001．求该公路上行驶的汽车停车修理的概率． 解：设B表示汽车中途停车修理，A1表示公路上经过的汽车是货车，A2表示公路上经过的汽车是客车， 则根据题意得P(A1)＝，P(A2)＝， P(B|A1)＝0.002，P(B|A2)＝0.001， 所以由全概率公式得： P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋ P(B|A2)P(A2)＝×0.002＋×0.001＝. 即该公路上行驶的汽车停车修理的概率为. 知识点二　贝叶斯公式 贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1，2，…，n. [例2] 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据： 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志． (1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率； (2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，求此次品出自三家工厂生产的概率分别是多少？ 解：(1)设事件A＝“在仓库中随机地取一只元件，它是次品”，事件Bi(i＝1，2，3)＝“所取到的产品是由第i家工厂提供”， 由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)·P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.012 5. (2)该元件来自制造厂1的概率为 P(B1|A)＝＝＝0.24， 该元件来自制造厂2的概率为 P(B2|A)＝＝＝0.64. 该元件来自制造厂3的概率为 P(B3|A)＝＝＝0.12. 贝叶斯公式针对的是某一过程中已知结果发生求事件过程某个条件成立的概率，解题步骤如下： (1)按照某种标准将目标事件分解为n个彼此互斥事件，并将这n个事件分别命名为Ai(i＝1，2，…，n)； (2)命名已知会发生的结果为事件B； (3)分别计算P(Ai)P(B|