7.1.1 条件概率（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7.1　条件概率与全概率公式 7．1．1　条件概率 [对应学生用书P30] 学习目标 1．结合古典概型，了解条件概率的定义，能计算简单随机事件的条件概率． 2．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题． 知识点一　条件概率 100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度和质量都合格．令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度和质量都合格}． 1．试求P(A)，P(B)，P(AB)； 2．任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度也合格(即A发生记为A|B)的概率； 3．P(B)，P(AB)，P(A|B)间有怎样的关系？ 1．条件概率公式 条件 设A，B为两个随机事件，且P(A)>0 含义 在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 记作 P(B|A) 读作 事件A发生的条件下，事件B发生的概率 计算公式 (1)缩小样本空间法：P(B|A)＝ (2)公式法：P(B|A)＝ 2.条件概率与事件相互独立性的关系 当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)＝P(B)． 3．乘法公式 对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)·P(B|A)． 对条件概率中“条件”的两点说明 (1)一般地，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件上，再加上某事件发生的附加条件)，求另一事件在此条件下发生的概率． (2)通常情况下，事件B在事件A已发生这个附加条件下发生的概率与没有这个附加条件发生的概率是不同的． [例1] 判断下列几种概率中哪些是条件概率： (1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，则该名女生是高一的概率； (2)掷一枚骰子，求掷出的点数为3的概率； (3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率． 解：由条件概率的定义知，(1)(3)为条件概率． 判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的． [练1] 下面几种概率是条件概率的是(　　) A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率 B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，则小明在一次上学中遇到红灯的概率 B　解析：由条件概率的定义知B为条件概率． [例2] 现有6个节目准备参加比赛，其中有4个舞蹈节目，2个语言类节目．如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． 解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB． (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数为 n(Ω)＝A＝30， 根据分步乘法计数原理，得n(A)＝A×A＝20. 所以P(A)＝＝＝. (2)因为n(AB)＝A＝12， 所以P(AB)＝＝＝. (3)方法一　由(1)(2)可得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 P(B|A)＝＝＝. 方法二　因为n(AB)＝12，n(A)＝20， 所以P(B|A)＝＝＝. 用定义法求条件概率P(B|A)的步骤 (1)分析题意，弄清概率模型； (2)计算P(A)，P(AB)或计算n(Ω)，n(A)，n(AB)； (3)代入公式求P(B|A)＝＝＝. [练2] 某地区气象台统计，该地区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在下雨天里，刮风的概率为(　　) A． B． C． D． C　解析：设事件A＝{下雨}，事件B＝{刮风}， 由题意知P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝， 则P(B|A)＝＝＝. [练3] 从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第一次抽到A，则第二次也抽到A的概率为__________． 答案：　解析：设A＝{第一次抽到A}，B＝{第二次抽到A}， 则AB＝{两次都抽到A}． ∴P(B|A)＝＝＝. [例3] 集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率． 解：将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)