6.2.4 组合数（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

6.2.4　组合数 [对应学生用书P15] 学习 目标 1．掌握组合数定义并能推导组合数公式.2.了解组合数的性质． 3．能运用组合数公式进行计算． 知识点一　组合数及组合数公式 从1，3，5，7中任取两个进行除法运算， 1．可以得到多少个不同的商？ 2．如何用分步乘法计数原理求商的个数？ 3．你能得出计算C的公式吗？ 组合数及组合数公式 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 符号 C 组合数 公式 乘积式 C＝＝ 阶乘式 C＝ 备注 规定：C＝1 [例1] (1)计算C－C·A； (2)证明：C＝C. (1)解：原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0. (2)证明：C＝·＝＝C. [变式探究] 将本例(2)题改为：求证C＝C. 证明：因为右边＝· ＝＝C＝左边， 所以左边＝右边，所以原等式成立． 组合数公式的两种形式的适用范围 组合数公式的乘积式主要适用于含具体数字的组合数的求值，阶乘式主要适用于含字母的组合数的有关变形及证明． [练1] 若－＜，求n的取值集合． 解：由－ ＜， 可得n2－11n－12<0，解得－1<n<12. 又n∈N*，且n≥5，所以n∈{5，6，7，8，9，10，11}． 所以n的取值集合为{5，6，7，8，9，10，11}． 知识点二　组合数的性质 1．试用两种方法求：从a，b，c，d，e 5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？ 2．从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？ 3．在2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？ 4．通过2，3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？ 组合数公式的性质 (1)性质1：C＝； (2)性质2：C＝C＋C. (1)性质1反映了组合数的对称性．若m>，通常不直接计算C，而改为计算C，这样可以减少计算量． (2)①性质2的特点是左端下标为n＋1，右端下标都为n，相差1；左端的上标与右端上标的一个一样，右端的另一个上标比它们少1． ②体现了“含”与“不含”的分类思想． [例2] (1)若C＝C，则x＝(　　) A．－1　　　　　　　　　　　 B．4 C．－1或4 D．1或5 (2)计算C＋C＋C＋…＋C的值为(　　) A．C B．C C．C－1 D．C－1 (1)B　(2)C　解析：(1)由C＝C，得x－2＝2x－1或x－2＋2x－1＝9，解得x＝－1(不合题意，舍去)或x＝4. (2)C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C－C＝C＋C＋…＋C－1＝…＝C＋C－1＝C－1，故选C． 与排列组合有关的方程或求值问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C中的m∈N*，n∈N*，且n≥m确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否符合题意． [练2] 化简：C－C＋C＝________． 答案：0　解析：原式＝(C＋C)－C＝C－C＝0. [练3] 已知C－C＝C，求n的值． 解：根据题意，C－C＝C，变形可得， C＝C＋C， 由组合数的性质，可得C＝C，故8＋7＝n＋1，解得n＝14. 综合应用　组合数在实际问题中的应用 [例3] 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？ (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数， 即C＝＝45. (2)可把问题分两类情况： 第1类，选出的2名是男教师有C种方法； 第2类，选出的2名是女教师有C种方法． 根据分类加法计数原理，共有C＋C＝21种不同选法． (3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法为C×C＝90种． 解答简单的组合问题的思路 (1)弄清楚做的这件事是什么； (2)分析这件事是否需分类或分步完成； (3)结合两个计数原理利用组合数公式求出结果． [练4] 已知一个口袋里装有除颜色外完全相同的7个白球和1个红球，从中任取5个球． (1)共有多少种不同的取法？ (2)其中恰有1个红球，共有多少种不同的取法？ (3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？ 解：(1)从一个口袋里的8个球中任取5个球，不同取法的种数是C＝C＝＝56. (2)从口袋里的8个球中任取5个球，其中恰有1个红球，可以分两步完成： 第一步，从7个白球中任取4个白球，有C种取法； 第二步，把1