6.2.4组合数 教学设计——2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.2.4组合数教学设计 一、教材分析 本节课是选择性必修第三册 (人教A版)6.2.4《组合数》第一课时。它在整个章节中起承上启下重要作用。既与前面的排列知识联系；又是后面学习二项式定理，研究二项式系数性质及求等可能事件概率的基础。本节课从实例入手，学生在探究中类比排列知识来学习组合数的定义、组合数计算公式，在具体情境中体会排列与组合的区别与联系；学生体会类比思想，体会从特殊到一般等重要数学思想；在应用中感悟数学来源于生活又服务于生活的课程理念。 二、学习目标： 1、了解组合数的概念及公式； 2、运用组合数解决实际问题； 3、体会类比的思想方法，从特殊到一般的推理方法，培养数学计算素养。 三、学情分析 大多数学生能理解排列数的概念，能比较熟练地应用排列数公式进行计算。一部分学生能遵循先特殊后一般、先取后排、先分类后分步的原则，解决排列应用问题。从学生现有能力看，具备了一定的分析、思考、探究、计算、数学表达的能力。 四、教学重难点 重点：组合数公式 难点：组合数公式的推导过程及应用 五、教学过程 （一）知识回顾 1、排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2、组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 提问：排列与组合的定义有什么区别和联系呢？ 3、排列数的概念与公式：我们把从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. 公式为 【设计意图】：帮助学生回顾排列与组合的联系与区别，有助于学生在本节课中借助两者之间的关系，由已知的排列数的概念和公式，类比和推导出组合数的概念和公式. （二）学习新知 （1）类比分析，引出概念； 1、类比排列数，我们引进组合数概念： 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号（或）表示. 2、举例说明：从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为，从4个不同元素中取出3个元素的组合数表示为. 从组合数的概念得知，组合数是一个正整数，那么与分别是多少呢？ 【设计意图】通过类比排列数的的概念，引导学生得出组合数的概念，举例说明帮助学生熟悉概念，通过概念的表述挖掘组合数的本质，为后面推导组合数的公式做准备. （2）问题探究，导出公式； 1、组合与排列有联系，能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢？ 在组合的概念一节中我们知道，元素相同顺序也相同的排列是相同的，而两个组合只要元素相同即认为是相同的，并且得出了从3个不同元素中取出2个元素的组合数=3. 2、请大家思考一下，从4个不同元素中取出3个元素的组合数是多少呢？ ①假设这四个元素分别为， ②从中取出3个元素的排列数=24,将其列举出来如下： ③以“元素相同”为标准，将这24个排列分组，一共有4组， 所以=4. 3、观察图形，发现求“从4个不同元素中取出3个元素的排列数”由以下步骤完成的. ①从4个元素中取出3个元素作为一组，共有种不同的取法； ②将取出的3个元素作全排列，共有种不同的排法. 根据分布乘法计数原理，有. 回顾求解过程，建立起排列数与组合数的联系，换个角度去理解“从4个不同元数中取出3个元数的排列数为”： 第一：取出元素，则共有C43种不同的组合， 第二步：对取出的元素进行排列，每一种组合内有A33种不同的排列. 根据分布乘法的计数原理建立起排列数与组合数之间的关系 4、从特殊到一般进行推广 求“从n个不同元素中取出m个元素排列数”可以通过以下步骤得到： ①从n个元素中取出m个元素作为一组，共有种不同的取法； ②将取出的m个元素作全排列，共有种不同的排法. 根据分布乘法计数原理，有, 因此，其中n,m，并且m≤n，这个公式叫做组合数公式. 根据，组合数公式还可以写成. 规定 其中第一个公式叫做乘积式公式，第二个公式叫做阶乘式公式，在实际应用中会使用哪种公式呢？ 【设计意图】通过排列与组合之间的联系与区别得出具体实例的组合数的值，再回顾求解过程，挖掘两者之间的内在联系，建立起排列数与组合数之间的联系，最后从特殊到一般对结论进行推广。在此过程中学生们通过问题导入的方式，一点点深入探究，从熟悉的旧知识到新知识之间建立起纽带，并在此过程中体会到从特殊到一般的推理方法，为学生提高数学逻辑素养提供帮助。 （3）应用举例，解决问题； 例1计算：（1）（2）（3）（4） 解：根据组合数计算公式可得： 1、思考：观察例6中（1）和（2），（3）和（4）的结果，你有什么发现？ 在例题中，我们发现与，与都是相同的数，并且我们给出另外的三组组合数，可以通过