6.2.3 组 合（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

6.2.3　组　合 [对应学生用书P13] 学习目标 1．理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系． 2．会用组合知识解决一些简单的组合问题． 知识点　组合的概念 某同学五一到石城旅游，要从4处景点A，B，C，D中选择2处，上午选一处，下午选一处，有多少种不同的旅游方案？如果仅从4处景点A，B，C，D中选择2处，又有多少种不同的旅游方案呢？ 组合的相关概念 (1)定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)两个组合相同的条件：两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的． 对组合概念的说明 (1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同元素中进行m次不放回地取出． (2)组合的特性：元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求． [例1] 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？ (2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？ (3)从10个人中选出3个代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人中选出3个不同学科的科代表，有多少种选法？ 解：(1)因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，所以是组合问题． (2)因为甲队获得冠军、乙队获得亚军，与乙队获得冠军、甲队获得亚军是不一样的，与顺序有关，所以是一个排列问题． (3)因为三个代表之间没有顺序的区别，所以这是一个组合问题． (4)因为三个人中，担任哪一科的科代表是有顺序区别的，所以这是一个排列问题． 排列、组合辨析切入点 (1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可． (2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合． (3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题． [练1] 判断下列问题是排列问题，还是组合问题． (1)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？ (2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？ (3)从a，b，c，d四名学生中选两名去完成同一份工作，有多少种不同的选法？ 解：(1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题． (2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题． (3)选出的两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题． 综合应用一　列举简单问题中的组合 [例2] 已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合． 解：方法一　可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即 所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE. 方法二　画出树状图，如图所示． 由此可以写出所有的组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE. (1)写出从n个不同元素中选出m(m≤n)个元素的所有组合的两种方法：从n个不同元素中选出m(m≤n)个元素的组合，可借助本例所示的“顺序后移法”(如方法一)或“树状图法”(如方法二)，直观地写出组合，做到不重复、不遗漏． (2)两个注意点：一是注意利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进，且写出的一个组合不可交换位置．如写出ab后，不必再交换位置为ba，因为它们是同一组合． 画“树状图”时，应注意顶层及下枝的排列思路，防止重复或遗漏． [练2] 在A，B，C，D四位候选人中． (1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果； (2)如果选举两人负责班级工作，共有几种选法？写出所有可能的选举结果． 解：(1)从四位候选人中选举正、副班长各一人是排列问题，有A＝12种选法，所有可能的选举结果为AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC． (2)从四位候选人中选举两人负责班级工作是组合问题，有C＝6种选法，所有可能的选举结果为AB，AC，AD，BC，BD，CD． 综合应用二　与组合有关的简单问题 [例3] 某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，试设计选取从西南角的A地到东北角的B地的最短路线的一个方案． 解：要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一