6.2.1 排 列（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

6.2　排列与组合 6．2.1　排　列 [对应学生用书P6] 学习目标 1． 通过实例，理解排列的概念，并能用图示法表示排列． 2. 能解决简单的排列问题． 知识点　排列的概念 1．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？ 2．从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个数字排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 排列的概念 (1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同． 排列中“一定的顺序”是关键，两个排列尽管组成元素完全相同，若排列顺序不同，一定是不同的排列． [例1] 给出下列问题： ①有10个车站，共需要准备多少种车票？ ②有10个车站，共有多少种不同的票价？ ③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？ ④有10名同学，假期约定每两人通一次电话，共需通话多少次？ ⑤从10名同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？ 以上问题中，属于排列问题的是________．(填序号) 答案：①③⑤　解析：①有10个车站，共需要准备多少种车票？相当于从10个不同元素中任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题； ②有10个车站，共有多少种不同的票价？相当于从10个不同元素中任取2个并成一组，无顺序要求，不属于排列问题； ③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？相当于从10个不同元素中任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题； ④有10名同学，假期约定每两人通一次电话，共需通话多少次？相当于从10个不同元素中任取2个并成一组，无顺序要求，不属于排列问题； ⑤从10名同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？相当于从10个不同元素中任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题． 综上，以上问题中，属于排列问题的是①③⑤. 判断一个具体问题是否为排列问题的方法 [练1] (多选)下列说法属于排列的是(　　) A．选2个小组分别去种树和种菜 B．选2个小组分别去种菜 C．选10人组成一个学习小组 D．从甲、乙等5人中选取2人担任正、副组长 AD　解析：对于A选项， 种树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；对于B，C选项，不存在顺序问题，不属于排列问题；对于D选项，甲担任组长，乙担任副组长，与甲担任副组长，乙担任组长是不同选法，属于排列问题．所以A，D选项属于排列问题． 综合应用一　排列的列举问题 [例2] (1)若直线Ax＋By＝0的系数A，B可以从2，3，5，7中取不同的数值，可以构成的不同直线的条数是(　　) A．12条 B．9条 C．8条 D．4条 (2)四个人A，B，C，D坐成一排照相，有多少种坐法？将它们列出来． (1)A　解析：画树状图如下： 故共有12条． (2)解：先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理知，有4×3×2×1＝24种坐法． 画出树状图如下： 由树状图可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD, CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA，共24种． [变式探究1] 在本例(2)中，若在条件中再增加一条“A不坐排头”，则结论如何？ 解：画出树状图： 由树状图可知，所有坐法为BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA，共18种坐法． [变式探究2] 在本例(2)中，若在条件中再增加一条“A不坐两头”，则结论如何？ 解：画出树状图： 故所有坐法为BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共12种． [变式探究3] 在本例(2)条件中再增加一条“A，B不相邻”，则结论如何？ 解：画出树状图： 由树状图可知，所有坐法为ACBD，ACDB，ADBC，ADCB, BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CADB，CBDA，DACB，DBCA，共12种． 利用树状图法解决简单排列问题的适用范围及策略 (1)适用范围：树状图在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式． (2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二