8.1.2 样本相关系数（课件PPT）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第八章　成对数据的统计分析 8．1　成对数据的统计相关性 8.1．2　样本相关系数 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 [－1，1] 1 越强 0 越弱 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 返回导航 高中数学 选择性必修 第三册 （A） 第八章　成对数据的统计分析 谢谢观看！ 学习目标 1．结合实例，了解样本相关系数的统计含义． 2．结合实例，会通过样本相关系数判断多组成对数据的相关性． 3．掌握样本相关系数的综合运用． 知识点一　样本相关系数 通过上一节的学习，小明提出了自己的一些疑问： 1．由上图可判断出图①是负相关，图②是正相关，那么能否判断出图②的相关性比图①强？ 2．怎样定量刻画两个变量的相关性？ 样本相关系数 对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(x1, y1)，(x2, y2)，…，(xn, yn)，其中x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值分别为x和y，则 我们称r为变量x和变量y的样本相关系数. [例1] 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得 eq \i\su(i＝1,20,x) i＝60， eq \i\su(i＝1,20,y) i＝1 200， eq \i\su(i＝1,20, ) (xi－x)2＝80， eq \i\su(i＝1,20, ) (yi－y)2＝9 000， eq \i\su(i＝1,20, ) (xi－x)(yi－y)＝800. (1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)； (2)求样本(xi，yi) (i＝1，2，…，20)的相关系数(精确到0.01).(附：相关系数r＝ eq \f(\i\su(i＝1,n, )（xi－x）（yi－y）,\r(\i\su(i＝1,n, )（xi－x）2\i\su(i＝1,n, )（yi－y）2)) ， eq \r(2) ≈1．414.) 解：(1)由已知得样本平均数y＝ eq \f(1,20) eq \i\su(i＝1,20,y) i＝60，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200＝12 000. (2)样本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的相关系数 r＝ eq \f(\i\su(i＝1,20, )（xi－x）（yi－y）,\r(\i\su(i＝1,20, )（xi－x）2)\r(\i\su(i＝1,20, )（yi－y）2)) ＝ eq \f(800,\r(80)×\r(9 000)) ＝ eq \f(2\r(2),3) ≈0.94. 利用样本相关系数r判断线性相关关系，需要应用公式计算出r的值，由于数据较大，有时需要借助计算器． [练1] 假设关于某种设备的使用年限x(单位：年)与所支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计资料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 已知 eq \i\su(i＝1,5,x) eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(i)) ＝90， eq \i\su(i＝1,5,y) eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(i)) ≈140.8， eq \i\su(i＝1,5,x) iyi＝112.3， eq \r(79) ≈8.9， eq \r(2) ≈1．4. (1)求x，y； (2)计算x，y之间的样本相关系数(精确到0.001). 解：(1)x＝ eq \f(2＋3＋4＋5＋6,5) ＝4， y＝ eq \f(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0,5) ＝5. (2) eq \i\su(i＝1,5,x) iyi－5x y＝112.3－5×4×5＝12.3， eq \i\su(i＝1,5,x) eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(i)) －5x2＝90－5×42＝10， eq \i\su(i＝1,5,y) eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(i)) －5y2≈140.8－125＝15.8， 所以r＝ eq \f(12.3,\r(10×15.8)) ＝ eq \f(12.3,\r(158)) ＝ eq \f(12.3,\r(2)×\r(79)) ≈0.987. 知识点二　样本相关关系的强弱 问题：将数据“标准化”处理后的成对数据(x′1, y′1)，(x′2, y′2)，…，(x′n, y′n)的第一分量构成n维向量x′＝(x′1，x′2，…，x′n)，第二分量构成n维向量y′＝(y′1，y′2，…，y′n)，设θ为向量x′和向量y′的夹角，则r与θ有什么关系？r的取值范围是什么？ 样本相关关系的强弱 (1)样本相关系数r的取值范围为_____________． (2)当|r|越接近__时，成对样本数据的线性相关程度____；当|r|越接近__时，成对样本数据的线性相关程度____． 当|r|＝1时，表明成对样本数据都在一条直线上，即两个变量之间满足一种线性关系． 当r＝0时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系． [例2] 下图是我国2016年至2022年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．(注：年份代码1～7分别对应年份2016～2022) 请求出相关系数r，并用相关系数的大小说明y与t相关性的强弱． 参考数据和公式： eq \i\su(i＝1,7,y) i＝10.97， eq \i\su(i＝1,7,t) iyi＝47.36， eq \r(\i\su(i＝1,7, )（yi－y）2) ＝0.664， eq \r(7) ≈2.646，样本相关系数r＝ eq \f(\i\su(i＝1,n, )（ti－t）（yi－y）,\r(\i\su(i＝1,n, )（ti－t）2) \r(\i\su(i＝1,n, )（yi－y）2)) . 解：由折线图中数据和参考数据得t＝ eq \f(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7,7) ＝4， eq \i\su(i＝1,7, ) (ti－t)2＝(1－4)2＋(2－4)2＋(3－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(6－4)2＋(7－4)2＝28， eq \r(\i\su(i＝1,7, )（yi－y）2) ＝0.664， eq \i\su(i＝1,7, ) (ti－t)(yi－y)＝ eq \i\su(i＝1,7,t) iyi－t eq \i\su(i＝1,7,y) i＝47.36－4×10.97＝3.48， 所以r＝ eq \f(\i\su(i＝1,7, )（ti－t）（yi－y）,\r(\i\su(i＝1,7, )（ti－t）2) \r(\i\su(i＝1,7, )（yi－y）2)) ≈ eq \f(3.48,0.664×2×2.646) ≈0.99. y与t的相关系数近似为0.99，接近于1， 所以y与t的线性相关性较强． 线性相关系数是从数值上来判断变量间的线性相关程度，是定量的方法．与散点图相比较，线性相关系数要精细得多，需要注意的是线性相关系数r的绝对值小，只是说明线性相关程度低，但不一定不相关，可能是非线性相关． [练2] 甲、乙、丙、丁四位同学各自对x，y两变量的线性相关性作试验，并分别求得相关系数r，如下表： 相关系数 甲 乙 丙 丁 r －0.82 0.78 0.69 0.87 则试验结果更能体现两变量有很强的线性相关性的是同学(　　) A．甲　　　　B．乙　　　　C．丙　　　　D．丁 D　解析：根据线性相关系数的意义可知，在验证两个变量之间的线性相关关系时，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四位同学中，丁同学求得的相关系数的绝对值最接近1，表明试验结果更能体现两变量有很强的线性相关性的是同学丁. 故选D． [练3] 某学生的记英语单词的时间t(单位：h)与检测效果y的数据如表所示． t 1 2 3 4 5 6 7 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 据统计表明，y与t之间具有线性相关关系，请用相关系数r加以说明(若|r|≥0.75，则认为y与t有很强的线性相关关系，否则认为没有很强的线性相关关系). 参考公式及数据： 相关系数r＝ eq \f(\i\su(i＝1,n, )（ti－t）（yi－y）,\r(\i\su(i＝1,n, )（ti－t）2) \r(\i\su(i＝1,n, )（yi－y）2)) ， y＝4.3， eq \i\su(i＝1,7, ) (yi－y)2＝7.08， eq \i\su(i＝1,7, ) (ti－t)(yi－y)＝14， eq \r(198.24) ≈14.08. 解：由题得t＝ eq \f(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7,7) ＝4， eq \i\su(i＝1,7, ) (ti－t)2＝(1－4)2＋(2－4)2＋(3－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(6－4)2＋(7－4)2＝28， 所以r＝ eq \f(\i\su(i＝1,7, )（ti－t）（yi－y）,\r(\i\su(i＝1,7, )（ti－t）2) \r(\i\su(i＝1,7, )（yi－y）2)) ＝ eq \f(14,\r(28)×\r(7.08)) ≈0.99>0.75， 所以y与t有很强的线性相关关系． 综合应用　样本相关系数的实际应用 [例3] 某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限x(单位：年)与失效费y(单位：万元)的统计数据如下表所示： 使用年限x (单位：年) 1 2 3 4 5 6 7 失效费y (单位：万元) 2.90 3.30 3.60 4.40 4.80 5.20 5.90 由上表数据可知，求y与x的相关系数r. (精确到0.01，参考公式和数据：r＝ eq \f(\i\su(i＝1,n, )（xi－x）（yi－y）,\r(\i\su(i＝1,n, )（xi－x）2\i\su(i＝1,n, )（yi－y）2)) ， eq \i\su(i＝1,7, ) (xi－x)(yi－y)＝14.00， eq \i\su(i＝1,7, ) (yi－y)2＝7.08， eq \r(198.24) ≈14.08) 解：由题意，知 x＝ eq \f(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7,7) ＝4， y＝ eq \f(2.90＋3.30＋3.60＋4.40＋4.80＋5.20＋5.90,7) ＝4.30， eq \i\su(i＝1,7, ) (xi－x)2＝(1－4)2＋(2－4)2＋(3－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(6－4)2＋(7－4)2＝28. 所以r＝ eq \f(14.00,\r(28×7.08)) ＝ eq \f(14.00,\r(198.24)) ≈ eq \f(14.00,14.08) ≈0.99. 所以y与x的相关系数约为0.99. (1)解决此类问题的难点是对数据的处理和计算，要特别注意避免运算失误． (2)根据已知数据求得回归直线方程后，利用相关系数绝对值的大小，可以判断两个变量相关性的强弱. [练4] 有人收集了某城市居民年收入x(所有居民在一年内收入的总和)与A商品销售额y的10年数据，如表所示． 第n年 1 2 3 4 5 居民年收入x(亿元) 32.2 31．1 32.9 35.8 37.1 A商品销售额y(万元) 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 第n年 6 7 8 9 10 居民年收入x(亿元) 38 39 43 44.6 46 A商品销售额y(万元) 41．0 42.0 44.0 48.0 51．0 画出散点图，判断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数推断居民年收入与A商品销售额的相关程度和变化趋势的异同． 参考数据：x≈38，y＝39.1， eq \i\su(i＝1,10,x) iyi＝15 202.9， eq \i\su(i＝1,10,x) eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(i)) ≈14 663.7， eq \i\su(i＝1,10,y) eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(i)) ＝15 857. 解：画出散点图如下．从散点图看，A商品销售额与居民年收入的样本数据呈现线性相关关系． 可以推断居民年收入与A商品销售额正相关，即居民年收入越高，A商品销售额也越大． 1．知识清单 (1)样本相关系数． (2)相关关系的强弱． (3)样本相关系数的实际应用． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：样本相关系数绝对值的大小与相关程度的关系． ◎随堂演练 1．对于线性相关系数r，以下正确的是(　　) A．r只能是正值，不能为负值 B．|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越强；相反则越弱 C．|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越弱；相反则越强 D．r＜0时表示两个变量无相关 答案：B 2.变量x，y的散点图如图所示，那么x，y之间的样本相关系数r最接近的值为(　　) A．1 B．－0.5 C．0 D．0.5 C　解析：根据变量x，y的散点图，得x，y之间的样本相关关系非常不明显，所以相关系数r最接近的值应为0. 故选C. $$