6.1平方根（十大题型）-（题型·技巧培优系列）2023-2024学年七年级数学下册同步精讲精练（人教版）

（人教版）七年级下册数学《第六章 实数》 6.1 平 方 根 知识点一 算术平方根的定义和性质 ★1、算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根. a的算术平方根记作：，读作:“根号a”. 即 x2=a (x>0) x叫做a的算术平方根，记作：x=. 规定：0的算术平方根是0. 记作: =0. ★2、算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性. ①被开方数一定是非负数，即a≥0. ②一个非负数的算术平方根也是非负数，即≥0. ★3、求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算，因而，求一个数的算术平方根实际上可以转化为求一个正数的平方运算，但是，只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根. ★4、被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 【注意】实际上省略了中的根指数2，不要误认为根指数是1或没有，因此也读作：“二次根号a”. 知识点二 算术平方根的估算 ◆求一个正数（非完全平方数）的算术平方根的近似值，一般采用逼近法，是指从两边确定取值范围，一点一点加强限制，使其所处范围越来越小，从而达到理想的精确程度. 知识点三 用计算器求算术平方根 ◆1、在求某些数的算术平方根时，有些数很大或很小，或不易求出算术平方根，为了提高计算速度，我们可以利用计算器，按照一定的按键顺序直接快速地求出这个数的算术平方根. ◆2、大多数计算器都有键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值). 知识点四 平方根的定义和性质 ★1、平方根的定义： 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根. ★2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算，运用这种关系可以求一个数的平方根. ★3、平方根的表示方法：正数a的算术平方根可以表示为，正数a的负的平方根，可以表示为-. 正数a的平方根可以用±表示，读作“正、负根号a”． ★4、算术平方根与平方根的联系和区别： （1）平方根与算术平方根的区别 （2）平方根与算术平方根的联系 ★5、平方根的性质： ①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 题型一 求一个数的算术平方根 【例题1】（2022秋•宁强县期末）的值等于（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．5 解题技巧提炼 根据算术平方根的概念求一个数的算术平方根，（1）当遇到求带分数的算术平方根的题目时，应先将带分数化成假分数再进行计算；（2）求一个数的算术平方根是多少，首先要知道哪个非负数的平方等于这个数. 【变式1-1】（2022秋•伊川县期末）的算术平方根是（　　） A．±6 B．6 C． D． 【变式1-2】（2023秋•新乡期末）的算术平方根是 　 　． 【变式1-3】（2023秋•鼓楼区校级期末）若3.5﹣x，则x的值不能是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-4】（2022•济宁三模）若5，则a的值为（　　） A．10 B． C．25 D．±25 【变式1-5】（2022春•老河口市月考）设x＝﹣22，y，那么xy等于（　　） A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6 【变式1-6】求下列各数的算术平方根： （1）0.49； （2）； （3）2； （4）32． 【变式1-6】求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型二 算术平方根的非负性 【例题2】（2022秋•崇川区校级月考）已知a，b满足（a﹣1）20，则a+b的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．0 解题技巧提炼 1、 算术平方根具有双重非负性,即被开方数a≥0且≥0， 中隐含条件 a≥0要灵活运用. 2、几个非负数的和为0，其中的每一个非负数都必须等于0. 【变式2-1】（2023秋•蓝山县期末）若，则ab的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【变式2-3】（2023秋•城关区校级期末）已知|m﹣2|0，则代数式2m+n的值是（　　） A．5 B．3 C．2 D．﹣1 【变式2-4】（2023秋•道县期末）若a，b为实数，且，则（ab）2024的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．±1 【变式2-5】（2023秋•海门区期末）已知正实数m，n满足，则的最大值 为（　　） A． B． C． D． 【变式2-6】（2022秋•迎泽区校级月考）若x，y满足，则xy的算术平方根为 　 ． 【变式2-7】（2022秋•九龙坡区期末）已知a、b、c都是实数，若，则的值等于（　　） A．1 B． C．2 D．﹣2 【变式2-8】（2023秋•开封期末）已知