专题07 空间向量与立体几何-2024届高考数学二轮培优及压轴专项训练（新高考培优专用）

专题07 空间向量与立体几何（新高考培优专用） 目录 【重难保分考点】 2 【重难保分考点一】几何体表面积求法 2 【重难保分考点二】几何体体积求法 3 【重难保分考点三】求异面直线所成的角 5 【重难保分考点四】证明平行（线线、线面、面面） 7 【重难保分考点五】证明垂直（线线、线面、面面） 9 【重难保分考点六】平行、垂直性质（线线、线面、面面） 11 【能力培优考点】 13 【能力培优考点一】等体积法求点面距离 13 【能力培优考点二】向量法求空间距离 16 【能力培优考点三】向量法求线线、线面、面面角 18 【能力培优考点四】定义法或几何法求线线、线面、面面角 20 【冲刺压轴考点】 23 【冲刺压轴考点一】几何体的“内切”，“外接”球问题 23 【冲刺压轴考点二】立体几何中的存在性问题 24 【冲刺压轴考点三】立体几何中的轨迹问题 27 【冲刺压轴考点四】立体几何中的最值问题 29 重难保分考点 【重难保分考点一】几何体表面积求法 一、单选题 1．（2023·广东广州·一模）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·辽宁·一模）“阿基米德多面体”这称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知，则该半正多面体外接球的表面积为（    ） A．18π B．16π C．14π D．12π 二、多选题 3．（22-23高一下·浙江宁波·阶段练习）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有（    ） A．该圆台轴截面面积为 B．该圆台的体积为 C．该圆台的侧面积为 D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为 4．（2023·江苏连云港·模拟预测）折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄，决胜千里，大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台（    ） A．高为 B．表面积为 C．体积为 D．上底面积、下底面积和侧面积之比为 三、填空题 5．（2023·广东汕头·一模）如图，在正四棱台中，，，若半径为r的球O与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积 ． 6．（2024·河南·模拟预测）已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的体积与球的体积的比值是 ，圆锥的表面积与球的表面积的比值是 ． 【重难保分考点二】几何体体积求法 一、单选题 1．（23-24高三上·安徽亳州·期末）如图，正三棱柱的底面边长为1，高为3，已知为棱的中点，分别在棱上，，记四棱锥，三棱锥与三棱锥的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·河南·开学考试）圆锥甲、乙、丙的母线与底面所成的角相等，设甲、乙、丙的体积分别为，侧面积分别为，高分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024·江西上饶·一模）空间中存在四个球，它们半径分别是2，2，4，4，每个球都与其他三个球外切，下面结论正确的是（    ） A．以四个球球心为顶点的四面体体积为 B．以四个球球心为顶点的四面体体积为 C．若另一小球与这四个球都外切，则该小球半径为 D．若另一小球与这四个球都内切，则该小球半径为 4．（23-24高三上·江苏南京·期中）如图，矩形中，，是边的中点，将沿直线翻折成（点不落在底面内），连接、.若为线段的中点，则在的翻折过程中，以下结论不正确的是（    ） A．平面恒成立 B．存在某个位置，使 C．线段的长为定值 D． 三、填空题 5．（2024·广东广州·二模）如图，一块面积为定值的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，当容器的容积最大时，其侧面与底面所成的二面角的余弦值为 . 6．（23-24高三下·四川遂宁·开学考试）如图，在中，是的中点，以为折痕把折叠，使点到达点的位置，则当平面平面时，其外接球的体积为 .    【重难保分考点三】求异面直线所成的角 一、单选题 1．（23-24高二上·山东青岛·期末）正方体中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2020·全国·模拟预测）在正方体中，，，，分别为，