精品解析：北京市东直门中学2024届高三下学期开学检测数学试题

北京市东直门中学2023-2024学年度第二学期开学检测 高三数学 2024.2 考试时间：120分钟 总分：150分 班级______ 姓名______ 学号______ 第一部分（选择题，共40分） 一、单选题（本大题共10小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知全集，集合满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，，其中，实数，若为实数，为纯虚数，则（ ） A. B. C. 6 D. 7 3. 已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（ ） A. B. C. D. 4. 设为所在平面内一点，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在棱长为2的正方体中，点在截面上（含边界），则线段的最小值等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知内角，，的对边分别为，，，若，，成等比数列，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 直线与圆有公共点一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 9. 已知双曲线的右焦点为，过且与一条渐近线平行的直线与的右支及另一条渐近线分别交于两点，若，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 10. 在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得新数列按照同样的方法进行构造，可以不断形成新的数列．现对数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…依次构造，记第n（）次得到的数列的所有项之和为，则（ ） A. 1095 B. 3282 C. 6294 D. 9843 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 11. 不等式的解集是______． 12. 设F为抛物线C：的焦点，直线l：，点A为C上任意一点，过点A作于P，则_________． 13. 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若，则写出a的一个可能值为______． 14. 已知函数则的单调递增区间为___________；满足的整数解的个数为___________．（参考数据：） 15. 如图，的正方形纸片，剪去对角的两个的小正方形，然后沿虚线折起，分别粘合AB与AH，ED与EF，CB与CD，GF与GH，得到一几何体Ω，记Ω上的棱AC与EG的夹角为a，则下列说法正确的是___________. ①几何体Ω中，CG⊥AE； ②几何体Ω是六面体； ③几何体Ω体积为； ④. 三、解答题（本大题共6小题，共85分） 16. 在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答. 在中，内角所对的边分别是，___________. （1）求角； （2）若，求的面积. 17. 为了调查居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会从A小区与B小区各随机抽取300名社区居民（分为18-40岁、41岁-70岁及其他人群各100名，假设两个小区中每组人数相等）参与问卷测试，分为比较了解（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并将问卷得分不低于60分的人数绘制频数分布表如下 分组 A小区频数 B小区频数 18-40岁人群 60 30 41-70岁人群 80 90 其他人群 30 50 假设用频率估计概率，所有居民的问卷测试结果互不影响． （1）从小区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其对垃圾分类比较了解的概率； （2）从、小区41-70岁人群中各随机抽取一名居民，记其对垃圾分类比较了解的居民人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 18. 如图，在多面体中，底面为平行四边形，，矩形所在平面与底面垂直，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调递增区间； （3）若函数在区间上只有一个极值点，求取值范围. 20. 已知椭圆过点，且． （1）求椭圆的方程； （2）设斜率为的直线与交于A，B两点（异于点P），直线，分别与轴交于点M，N，求的值． 21. 若无穷数列满足：，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“”. （1）若具有性质“”，且，，，求； （2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为2的等比数列，，，，判断是否具有性质“”，并说明理由； （3）设既具有性质“”，又具有性质“”，其中，，，求证：具有性质“”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市东