3.3.1 抛物线及其标准方程 导学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.1 抛物线及其标准方程 导学案 【学习目标】 1. 通过比较，会选择合适的坐标系建立抛物线的方程，进一步熟练的应用. 2. 通过探究，掌握抛物线的定义及其标准方程，并会求其标准方程. 3. 结合抛物线及其方程，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的思想. 【核心素养】 数学运算、直观想象、数学建模. 【重点难点】 重点：抛物线的定义及其标准方程. 难点：运用定义推导抛物线的标准方程. 一、自学导引 1. 抛物线的定义 我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做_______. 点叫做抛物线的_______，直线叫做抛物线的_______. 思考：抛物线的定义中，若点在直线上，那么点的轨迹是什么？ 自主检测 例：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)若点P到点F(1,0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线．(　　) (2)若点P到点F(1,0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线．(　　) (3)若点P到点F(1,0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线．(　　) (4)抛物线y2＝2px(p＞0)中p是焦点到准线的距离．(　　) 环节一 创设情境 通过前面的学习可以发现，如果动点到定点的距离与到定直线(不过点)的距离之比为， 设动点M到定点F的距离和到定直线（不过点F）的距离之比为， 当0<<1时 动点M的轨迹为椭圆 当>1时 动点M的轨迹为双曲线 当=1时 动点M的轨迹为 ？ 问题1：当时，即动点到定点的距离与它到定直线的距离相等时，点的轨迹会是什么形状? 问题2：如图3.3-1，是定点，是不经过的定直线，是上任意一点，过点作，线段的垂直平分线交于点．拖动点，点随之运动，你能发现点满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？线段的几何意义分别是什么？ 环节二 观察分析，感知概念 我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（parabola）．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线． 2. 抛物线的标准方程(四种形式) 思考：比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？尝试用不同的建系方式，推导出对应的方程。 探究：在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程. 抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表. 观察总结：如何根据抛物线方程判断焦点位置(开口方向)？ 思考：你能说明二次函数的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程. 二、基础感知 【例1】 (1) 已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程； (2) 已知抛物线的焦点是，求它的标准方程； (3) 求过点A(3,2)的抛物线的标准方程. 三、课后作业 1. 已知定点，记动点到直线的距离为，若，则动点的轨迹是 （ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 直线 2. 根据下列条件写出抛物线的标准方程； （1）焦点是; (2) 准线方程是； （3）焦点到准线的距离是2. 3.求下列抛物线的焦点坐标和标准方程： （1） （2） （3） （4） 4.已知抛物线过点A（2，2），则点A到准线的距离为 ． 5.已知点在抛物线上，点，是焦点，则的最小值为_______. 学科网（北京）股份有限公司 $$