课时梯级训练(23) 函数的极值（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(23)　函数的极值 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．若函数y＝f(x)可导，则“f′(x)＝0有实根”是“f(x)有极值”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：f′(x)＝0，但f′(x)在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时，f(x)在f′(x)的零点处无极值；但f(x)有极值，则f′(x)在极值点处一定等于0.所以“f′(x)＝0有实根”是“f(x)有极值”的必要不充分条件． 2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，若函数f(x)在x＝1处取得极小值，则导函数f′(x)的图象可能是(　　) B　解析：因为函数f(x)在x＝1处取得极小值， 所以只需导函数f′(x)在x＝1的左侧小于0，右侧大于0即可． 由图可知只有选项B符合题意．故选B. 3．函数f(x)＝x3－3x2－9x(－2<x<2)有(　　) A．极大值5，极小值－27 B．极大值5，极小值－11 C．极大值5，无极小值 D．极小值－27，无极大值 C　解析：因为f(x)＝x3－3x2－9x，所以f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x2－2x－3).令f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.当x∈(－2，2)时，f(x)在(－2，－1)上是增函数，在(－1, 2)上是减函数，故f(x)在(－2, 2)内有极大值f(－1)＝－1－3＋9＝5，无极小值．故选C. 4．若函数f(x)＝x3－(＋3)x2＋2ax＋3在x＝2处取得极小值，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞， －6) B．(－∞， 6) C．(6, ＋∞) D．(－6, ＋∞) B　解析：f′(x)＝3x2－(a＋6)x＋2a＝(3x－a)(x－2)，f′(x)＝0有两个根，2.若函数f(x)在x＝2处取得极小值，则<2，解得a<6，即a∈(－∞， 6).故选B. 5．关于函数f(x)＝x3－3x2有下列命题，其中正确命题的序号是____________． ①f(x)是增函数；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间为(0, 2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值． 答案：③④　解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，则x＝0或x＝2.利用极值的求法可求得x＝0是极大值点，x＝2是极小值点． 6．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数的极小值是________． 答案：c　解析：依题意f′(x)＝3ax2＋2bx.由题图可知，当x<0时，f′(x)<0；当0<x<2时，f′(x)>0.故x＝0时函数f(x)取极小值f(0)＝c. 7．若函数f(x)＝在x＝a处有极小值，则实数a＝________． 答案：1　解析：由函数f(x)＝在x＝a处有极小值，得x＝a是极值点，所以f′(a)＝0.由f′(x)＝，得＝0，解得a＝1.经检验知a＝1满足题意． 8．设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0). (1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值点． 解：(1)f′(x)＝3x2－3a. 因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切， 所以即解得 (2)当a<0时，f′(x)>0恒成立，即函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点． 当a>0时，由f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－) － (－，) (，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) f(－) f() 因此，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间为(－， )， 此时x＝－是函数f(x)的极大值点，x＝是函数f(x)的极小值点． 9．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1. (1)试求常数a，b，c的值； (2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，说明理由并求出极值． 解：(1)由已知，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c， 且f′(1)＝f′(－1)＝0， 得3a＋2b＋c＝0，3a－2b＋c＝0. 又f(1)＝－1，所以a＋b＋c＝－1. 所以a＝，b＝0，c＝－. (2)由(1)知f(x)＝x3－x， 所以f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1). 当x<－1或x>1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0. 所以函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1，1)上为减函数． 所以当x＝－1时，函数