课时梯级训练(18) 基本初等函数的导数（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(18)　基本初等函数的导数 　　　　　　　　　　　　　 1．若函数y＝10x，则y′|x＝1＝(　　) A． B．10 C．10ln 10 D． C　解析：∵y′＝10x ln 10，∴y′|x＝1＝10ln 10.故选C. 2．已知函数f(x)＝x5的导函数为y＝f′(x)，则f′(－1)＝(　　) A．－1 B．1 C．5 D．－5 C　解析：∵f′(x)＝5x4，∴f′(－1)＝5.故选C. 3．(多选)下列求导正确的是(　　) A．(x8)′＝8x7 B．(4x)′＝4x ln 4 C．(sin (x＋))′＝sin x D．(e2)′＝2e AB　解析：C项中，sin (x＋)＝cos x， (cos x)′＝－sin x；D项中，(e2)′＝0. 4．设函数f(x)＝x2，f′(x0)＝2，则x0＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 B　解析：因为f′(x)＝2x，所以f′(x0)＝2x0＝2， 解得x0＝1.故选B. 5．已知f(x)＝2x，则f′()＝________． 答案：eln 2　解析：因为f(x)＝2x，所以f′(x)＝2x ln 2，所以f′()＝f′(log2e)＝＝eln 2. 6．若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1，2)处的切线经过原点，则α＝________． 答案：2　解析：y′＝αxα－1，所以y′|x＝1＝α，所以切线方程为y－2＝α(x－1)，即y＝αx－α＋2，该直线过原点(0，0)，所以α＝2. 7．已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝ln x．若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝______． 答案：1　解析：因为f′(x)＝0，g′(x)＝，所以2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－＝1，解得x＝1或x＝－.因为x＞0，所以x＝1. 8．已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？请说明理由． 解：不存在．理由如下：由于y1＝sin x，y2＝cos x，设这两条曲线的一个公共点为P(x0, y0)，∴两条曲线在点P(x0, y0)处的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0. 若使两条切线互相垂直，则cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1， 也就是sin 2x0＝2，但这是不可能的． ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直． 9．若函数f (x)的导函数为偶函数，则f(x)的解析式可能是(　　) A．f(x)＝ x2 B．f(x)＝cos x C．f(x)＝sin x D．f(x)＝ex C　解析：对A，f′(x)＝2x，为奇函数；对B，f′(x)＝－sin x，为奇函数；对C，f′(x)＝cos x，为偶函数；对D，f′(x)＝ex，既不是奇函数也不是偶函数．故选C. 10．设f1(x)＝sin x，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*，则f2 024(x)＝(　　) A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x D　解析：∵f1(x)＝sin x，∴f′1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝f′1(x)＝cos x，f3(x)＝f′2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f4(x)＝f′3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f5(x)＝f′4(x)＝(－cos x)′＝sin x．由此可知：fn＋4(x)＝fn(x)，n∈N*，∴f2 024(x)＝f4(x)＝－cos x． 11．若直线y＝x＋b是曲线f(x)＝ln x的一条切线，则实数b＝__________． 答案：ln 2－1　解析：由切线方程知切线斜率是，即y′＝＝，x＝2.因为切点在y＝ln x上，所以切点为(2，ln 2).因为切点也在切线上，所以将(2，ln 2)代入切线方程得b＝ln 2－1. 12．若正三角形内切圆的半径为r，则该正三角形的周长C(r)＝6r，面积S(r)＝3r2，发现S′(r)＝C(r).相应地，若正四面体内切球的半径为r，则该正四面体的表面积S(r)＝24r2.请用类比推理的方法猜测该正四面体的体积V(r)＝________________．(写出关于r的表达式) 答案：8r3　解析：由题意得：V′(r)＝S(r).因为S(r)＝24r2，所以V′(r)＝24r2，则V(r)＝8r3. 13．已知点A(， －1)，B(2，1)，函数f(x)＝log2x. (1)过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程； (