课时梯级训练(13) 数列求和（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(13)　数列求和 　　　　　　　　　　　　　　　 1．数列{an}的通项公式为an＝.若该数列的前k项之和等于9，则k＝(　　) A．80 B．81 C．79 D．82 B　解析：an＝＝－，故Sn＝.令Sk＝＝9，解得k＝81.故选B. 2．已知Tn为数列的前n项和．若m>T10＋1 013恒成立，则整数m的最小值为(　　) A．1 026 B．1 025 C．1 024 D．1 023 C　解析：∵＝1＋()n，∴Tn＝n＋1－， ∴T10＋1 013＝11－＋1 013＝1 024－.又m>T10＋1 013，∴整数m的最小值为1 024. 3．已知数列：1，2，3，…，(n＋)，…，则其前n项和Sn关于n的表达式为________． 答案：－＋1　解析：由题意可得Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(＋＋…＋)＝＋＝－＋1. 4．等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则 ＝________________． 答案：　解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.依题意有解得所以Sn＝，＝＝2(－).因此 ＝2(1－＋－＋…＋－)＝. 5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，S4＝16，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)设数列{an}的公差为d. ∵a2＝3，S4＝16，∴a1＋d＝3，4a1＋6d＝16， 解得a1＝1，d＝2. ∴an＝2n－1. (2)由题意知，bn＝＝(－)， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)] ＝(1－)＝. 6．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2，记bn＝anSn(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)∵Sn＝2n＋1－2， ∴当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－2＝2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n. 又a1＝2＝21，∴an＝2n. (2)由(1)知，bn＝anSn＝2·4n－2n＋1， ∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2(41＋42＋43＋…＋4n)－(22＋23＋…＋2n＋1)＝2×－ ＝·4n＋1－2n＋2＋. 7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn.若a1＝b1＝3，a4＝b2，S4－T2＝12. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)求数列{an＋bn}的前n项和． 解：(1)由a1＝b1，a4＝b2， 得S4－T2＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(b1＋b2)＝a2＋a3＝12. 设等差数列{an}的公差为d， 则a2＋a3＝2a1＋3d＝6＋3d＝12，解得d＝2. 所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1. 设等比数列{bn}的公比为q. 由题意知b2＝a4＝9，即b2＝b1q＝3q＝9， 解得q＝3.所以bn＝3n. (2)an＋bn＝(2n＋1)＋3n， 所以{an＋bn}的前n项和为(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)＝(3＋5＋…＋2n＋1)＋(3＋32＋…＋3n) ＝＋＝n(n＋2)＋＝n2＋2n＋－. 8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＋1＝an(n∈N*). (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn. (1)证明：∵a1＝，an＋1＝an，∴∶＝(n∈N*)为常数． 当n∈N*时，≠0，又＝， ∴是以为首项，为公比的等比数列． (2)解：由(1)可得＝·()n－1， ∴an＝n·()n. ∴Sn＝1×＋2×()2＋3×()3＋…＋n×()n， Sn＝1×()2＋2×()3＋…＋(n－1)×()n＋n×()n＋1. 两式相减得 Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n·()n＋1＝－n·()n＋1. ∴Sn＝2－()n－1－n·()n＝2－(n＋2)·()n. 综上，an＝n·()n，Sn＝2－(n＋2)·()n. 9．已知正项递增的等比数列{an}满足a1＋a3＝30，a2＝9. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn. 解：(1)设等比数列{an}的公比为q，∵数列{an}为正项递增等比数列，∴q>1. 又a1＋a3＝30，a2＝9， ∴解得或(舍). 所以等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n. (2)由(1)知an＝3n， 所以bn＝＝＝－， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－. 所以数列{bn}的前n项和Tn为－. 学科网（北京）股份有限公司 $$