课时梯级训练(12) 构造法求数列通项公式问题（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(12)　构造法求数列通项公式问题 　　　　　　　　　　　　 1．数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则是这个数列的(　　) A．第100项 B．第101项 C．第102项 D．第103项 A　解析：由an＋1＝(n∈N*)，得＝＝＋2，则＝＋2(n－1)＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴an＝.令an＝＝，得n＝100.故选A. 2．(多选)数列{an}是首项为1的正项数列，an＋1＝2an＋3，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　　) A．a3＝13 B．数列{an＋3}是等比数列 C．an＝4n－3 D．Sn＝2n＋1－n－2 AB　解析：∵an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)，∴数列{an＋3}是等比数列．又a1＝1，∴an＋3＝(a1＋3)2n－1，∴an＝2n＋1－3，∴a3＝13，∴Sn＝－3n＝2n＋2－3n－4.故选AB. 3．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋()n＋1，则an＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ A　解析：因为a1＝，an＋1＝an＋()n＋1，所以2n＋1·an＋1＝·2nan＋1，整理得2n＋1·an＋1－3＝·(2nan－3)，所以数列是以2a1－3＝－为首项，为公比的等比数列．所以2nan－3＝－·()n－1，解得an＝－.故选A. 4．已知数列{an}的首项a1＝3，且满足an＋1＝3an＋2×3n＋1，n∈N*.设bn＝，判断数列{bn}是否为等差数列或等比数列，并证明你的结论． 解：∵an＋1＝3an＋2×3n＋1(n∈N*)， ∴＝＋，即－＝2. ∵bn＝， ∴bn＋1－bn＝2，∴{bn}是以b1＝＝1为首项，2为公差的等差数列． 5．数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，3Sn＝an＋1－2n＋2＋2(n∈N*). (1) n∈N*时，写出an＋1与an之间的递推关系； (2)求{an}的通项公式． 解：(1)因为3Sn＝an＋1－2n＋2＋2，① 所以当n≥2时，3Sn－1＝an－2n＋1＋2.② ①－②得3an＝an＋1－an－2n＋1(n≥2)， 即an＋1＝4an＋2n＋1 (n≥2). 在①中，令n＝1得a2＝3a1＋23－2＝12＝4a1＋22，符合上式． 所以an＋1＝4an＋2n＋1. (2)因为an＋1＝4an＋2n＋1，所以an＋1＋2n＋1＝4(an＋2n)，且a1＋2＝4≠0， 所以数列{an＋2n}是以4为首项，4为公比的等比数列， 所以an＋2n＝4n，故an＝4n－2n. 6．数列{an}中，已知an＝3an－1＋2·qn (n∈N*，n≥2).其中q是非零的常数． (1)若q＝5，a1≠25，求证：数列{an－5n＋1}是等比数列； (2)若q＝3，a1＝3，求{an}的通项公式． 解：(1)由q＝5得，an＝3an－1＋2·5n(n∈N*，n≥2)，所以an－5n＋1＝3an－1－3·5n＝3(an－1－5n)， 即＝3. 因为a1≠25，所以a1－52＝a1－25≠0， 所以数列{an－5n＋1}是公比为3的等比数列． (2)当q＝3时，an＝3an－1＋2·3n(n∈N*，n≥2).由an＝3an－1＋2·3n，得＝＋2，即－＝2(n∈N*，n≥2). 又＝1，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列， 所以＝1＋(n－1)×2，即an＝(2n－1)·3n. 7．数列{an}满足an＋1＝5an＋3×5n＋1，a1＝6，则数列{an}的通项公式为________． 答案：an＝(3n－)·5n　解析：因为an＋1＝5an＋3×5n＋1，所以＝＋3，即－＝3， 所以是等差数列，而＝， 所以＝＋3(n－1)＝3n－， 所以an＝(3n－)·5n. 学科网（北京）股份有限公司 $$