课时梯级训练(2) 数列通项公式、递推公式及应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(2)　数列通项公式、递推公式及应用 　　　　　　　　　　　 1．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是(　　) A．an＋1＝an＋n(n∈N*) B．an＝an－1＋n(n≥2，n∈N*)，a1＝1 C．an＋1＝an＋(n－1)(n∈N*) D．an＝an－1＋(n－1)(n≥2，n∈N*)，a1＝1 B　解析：观察此数列的前五项，发现相邻两项的后一项比前一项大后一项的序号数，故an＝an－1＋n(n≥2，n∈N*)，a1＝1. 2．已知数列{an}中，an－1＝man＋1(n>1)，且a2＝3，a3＝5，则实数m等于(　　) A． B． C．2 D．3 A　解析：由题意得a2＝ma3＋1，即3＝5m＋1，∴m＝. 3．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，则a1＋a3的值为(　　) A．1 B．3 C．5 D．6 C　解析：∵Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，∴S1＝0，S3＝8，∴a1＝0，a2＝3，a3＝5，∴a1＋a3＝5. 4．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于(　　) A．－ B． C．－ D． B　解析：对n依次取2，3，4，5，得a2＝(－1)2×2×＝，a3＝－，a4＝－，a5＝. 5．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________． 答案：9　解析：因为an＝19－2n，且an>0，所以19－2n>0，解得n<，而n∈N*，则nmax＝9，所以符合条件的最大正整数n的值为9. 6．数列{an}满足an＝4an－1＋3，且a1＝0，则此数列的第5项是________． 答案：255　解析：因为an＝4an－1＋3，所以a2＝4×0＋3＝3，a3＝4×3＋3＝15，a4＝4×15＋3＝63，a5＝4×63＋3＝255. 7．已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝－2n2，则an＝________． 答案：－4n＋2　解析： 当n＝1时，a1＝S1＝－2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－4n＋2.显然n＝1时符合上式，故an＝－4n＋2. 8．设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，求an. 解：因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，① 则当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，② ①－②得3n－1an＝，所以an＝(n≥2). 由题意知a1＝符合上式，所以an＝. 9．数列{an}满足a1＝1 ，an＋1＋2anan＋1－an＝0. (1)写出数列的前5项； (2)由(1)写出数列{an}的一个通项公式； (3)实数是否为这个数列中的一项？若是，应为第几项？ 解：(1)由已知可得a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝. (2)由(1)可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…， 所以它的一个通项公式为an＝. (3)令＝，解得n＝50， 故是这个数列的第50项． 10．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝则a6＝(　　) A．16 B．25 C．28 D．33 C　解析：当n＝1时，a2＝1＋3＝4；当n＝2时，a3＝2×4＋1＝9；当n＝3时，a4＝9＋3＝12；当n＝4时，a5＝2×12＋1＝25；当n＝5时，a6＝25＋3＝28.故选C. 11．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＝1＋(n≥2)，则a5＝________． 答案：　解析：由题意可知， a1＝1， a2＝1＋＝1＋＝2， a3＝1＋＝1＋＝， a4＝1＋＝1＋＝， a5＝1＋＝1＋＝. 12．如图，图案中的星星个数构成一个数列，第20个图案有________个星星． 答案：210　解析：观察数列中的星星个数的规律：当n＝1时，有1个，当n＝2时，有(1＋2)个，当n＝3时，有(1＋2＋3)个，…，所以当n＝20时，有1＋2＋3＋…＋20＝21×10＝210(个). 13．如图，将正三角形的每一条边三等分，并以每一条边上居中的一条线段为边向外作正三角形，便得到第1条“雪花曲线”(如图乙的实线部分)，对第1条“雪花曲线”的边重复上述作法，便得到第2条“雪花曲线”(如图丙)，这样一直继续下去，得到一系列的“雪花曲线”．设第n条“雪花曲线”有an条边． (1)写出a1，a2的值； (2)求出数列{an}的递推公式． 解：(1)a1＝12，a2＝48. (2)由“雪花曲线”的作法可知，第n条“雪花曲线”的每条边都可得到第(n＋1)条“雪花曲线”的四条边． ∴an＋1＝4an， ∴数列{an}的递推