课时梯级训练(1) 数列的概念与表示（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(1)　数列的概念与表示 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(多选)下列命题正确的是(　　) A．数列，，，，…的一个通项公式是an＝ B．数列的图象是一群孤立的点 C．数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列 D．数列，，…，是递减数列 BD　解析：由通项公式知a1＝，故A不正确；易知B正确；由于两数列中数的排列次序不同，因此不是同一数列，故C不正确；D中的数列为递减数列，所以D正确． 2．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 A　解析：∵an＝＝1－，∴n越大，越小，则an越大，故该数列是递增数列． 3．数列，，，，…的第10项是(　　) A． B． C． D． C　解析：由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为an＝，n∈N*.当n＝10时，a10＝＝. 4．数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的一个通项公式an等于(　　) A．(10n－1) B．(10n－1) C．(1－) D．(10n－1) C　解析：代入n＝1检验，排除A，B，D. 5．已知数列{an}的通项公式an＝则a2·a3＝__________． 答案：20　解析：相当于分段函数求值，a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，∴a2·a3＝20. 6．已知数列{an}的通项公式an＝，则an·an＋1·an＋2＝________________． 答案：　解析：an·an＋1·an＋2＝··＝. 7．若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为______．(填序号) ①an＝－2n＋1；②an＝－n2＋3n＋1；③an＝；④an＝(－1)n. 答案：①③　解析：②中a1＝a2，④是摆动数列，①对应的函数是一次函数，且一次项系数小于0，故为递减数列，③中的数列可以看成指数函数，也是递减数列． 8．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来． (1)an＝(－1)n＋2；(2)an＝. 解：(1)a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1. 图象如图①. (2)a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.图象如图②. 　 9．已知函数f(x)＝，设an＝f(n)(n∈N*). (1)求证：an<1； (2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？ (1)证明：an＝f(n)＝＝1－. 又n∈N*，∴0＜≤1，∴an＜1. (2)解：数列{an}是递增数列．理由如下： ∵an＋1－an＝－ ＝(1－)－(1－)＝>0， ∴an＋1>an，∴{an}是递增数列． 10．若数列的前4项分别为2, 0, 2, 0，则这个数列的通项公式不可能是(　　) A．an＝1＋(－1)n＋1 B．an＝1－cos nπ C．an＝2sin2 D．an＝1＋(－1)n－1＋(n－1)(n－2) D　解析：当n＝3时，D选项不满足． 11．对任意的an∈(0，1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1>an(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) A　解析：根据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1>an，即函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足． 12．已知递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是____________． 答案：(－∞，0)　解析：an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0. 即实数k的取值范围是(－∞，0). 13．设函数f(x)定义如表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数n均有xn＋1＝f(xn)，则x2 023＝_______． x 1 2 3 4 5 f(x) 4 1 3 5 2 答案：4　解析：由题意，∵x0＝5，且对任意自然数n均有xn＋1＝f(xn)，∴x1＝f(x0)＝2，x2＝f(x1)＝1，x3＝f(x2)＝4，x4＝f(x3)＝5，…，故数列{xn}：2，1，4，5，2，1，4，5，…，是一个周期性变化的数列，周期为4.∴x2 023＝x4×505＋3＝x3＝4. 14．请写出一个符合下列要求的数列{an}的通项公式：①{an}为无穷数列；②{an}为单调递增数列；③0< an <2.这个数列的通项公式可以是____________． 答案：an＝2－(答案不唯一)　解析：因为函数an＝2－的定义域为N*，且an＝2－在N*上单调递增，0<2－<2，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是an＝2－. 15．在数列{an}中，an＝n2－8n. (1)列表得出数列的前9项