第四章 专题提升课(一) 构造法求数列通项公式问题（课件PPT）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第四章　数 列 专题提升课(一)　构造法求数列通项公式问题 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 谢谢观看！ 学习目标 1．掌握利用构造法求数列通项公式的方法． 2．会用构造法构造等差数列、等比数列解决一些简单的问题． 专题一：形如an＝pan－1＋pn的递推关系求通项公式 [例1] 已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n(n≥2)，且a1＝1，求数列{an}的通项公式． 解：因为an＝2an－1＋2n，等式两边同时除以2n， 得 eq \f(an,2n) ＝ eq \f(an－1,2n－1) ＋1，即 eq \f(an,2n) － eq \f(an－1,2n－1) ＝1， 所以数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n))) 是以 eq \f(1,2) 为首项，以1为公差的等差数列， 即 eq \f(an,2n) ＝ eq \f(1,2) ＋(n－1)×1，所以an＝(n－ eq \f(1,2) )×2n. [变式探究] 将本例中“an＝2an－1＋2n”变为“an＝2an－1＋2n＋1”，其余不变，求数列{an}的通项公式． 解：等式两边同时除以2n，得 eq \f(an,2n) ＝ eq \f(an－1,2n－1) ＋2，即 eq \f(an,2n) － eq \f(an－1,2n－1) ＝2，所以{ eq \f(an,2n) }是以 eq \f(1,2) 为首项，以2为公差的等差数列， 所以 eq \f(an,2n) ＝ eq \f(1,2) ＋(n－1)×2＝2n－ eq \f(3,2) ，即an＝(2n－ eq \f(3,2) )×2n. 形如an＝pan－1＋pn(p≠1)的递推关系 求通项公式的一般步骤 第一步：等式两边同除以pn，不管这一项是pn－1或pn＋1，都同除以pn，为的是数列的下标和p的指数对应起来． 第二步：写出数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,pn))) 的通项公式； 第三步：写出数列{an}的通项公式． [练1] 已知数列{an}满足 eq \f(1,an) ＝ eq \f(1,2an－1) ＋ eq \f(1,2n) ，且a1＝1，求数列{an}的通项公式． 解：由题意，等式两边同乘2n，得 eq \f(2n,an) ＝ eq \f(2n－1,an－1) ＋1， 即 eq \f(2n,an) － eq \f(2n－1,an－1) ＝1，所以 eq \f(2n,an) － eq \f(2n－1,an－1) ＝1， 所以 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2n,an))) 是以2为首项，1为公差的等差数列，所以 eq \f(2n,an) ＝2＋(n－1)×1＝n＋1，即an＝ eq \f(2n,n＋1) . 专题二：形如an＋1＝pan＋q的递推关系求通项公式 [例2] 已知数列{an}满足a1＝ eq \f(2,3) ，an＋1＝ eq \f(1,2) (an＋1)，求通项公式an. 解：∵an＋1＝ eq \f(1,2) an＋ eq \f(1,2) ，∴an＋1－1＝ eq \f(1,2) (an－1). 又a1－1＝－ eq \f(1,3) ， ∴数列{an－1}是首项为－ eq \f(1,3) ，公比为 eq \f(1,2) 的等比数列． ∴an－1＝－ eq \f(1,3) ×( eq \f(1,2) )n－1.∴an＝1－ eq \f(1,3) ×( eq