4.3 4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的实际应用（课件PPT）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第四章　数 列 4.3　等比数列 4.3.2　等比数列的前n项和公式 第2课时　等比数列前n项和的实际应用 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A 第四章　数 列 谢谢观看！ 学习目标 1．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 2．掌握等差数列与等比数列的综合应用． 综合应用1：等比数列前n项和在几何中的应用 [例1] 把一个边长为1的正方形等分成九个全等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉(如图①)；再将剩余的每个正方形都分成九个全等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图②)；如此继续下去． (1)图③中共挖掉了________个正方形． (2)第n个图形共挖掉了________________个正方形，这些正方形的面积和是____________． 答案：(1)73　(2) eq \f(8n－1,7) 　1－( eq \f(8,9) )n　解析：(1)设第n个图形共挖掉an个正方形，则a1＝1，a2－a1＝8，a3－a2＝82，…，an－an－1＝8n－1，所以an＝1＋8＋82＋…＋8n－1＝ eq \f(8n－1,7) .故图③中共挖掉了 eq \f(83－1,7) ＝73(个)正方形． (2)第n个图形共挖掉了 eq \f(8n－1,7) 个正方形．由于原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为1×( eq \f(1,3) )2＋8×( eq \f(1,3) )4＋82×( eq \f(1,3) )6＋…＋8n－1×( eq \f(1,3) )2n＝ eq \f(\f(1,9)[1－（\f(8,9)）n],1－\f(8,9)) ＝1－( eq \f(8,9) )n. [变式探究] 本例中若一直继续下去，则这些被挖掉的正方形面积之和趋近于多少？ 解：设被挖掉的正方形面积之和为Sn，则Sn＝1－( eq \f(8,9) )n.由于一直继续下去，即n无限增大，( eq \f(8,9) )n无限趋近于0，此时被挖掉的正方形面积之和趋近于1. 解决此类问题的关键是准确将问题转化为等比数列模型，再利用等比数列的相关知识求解． [练1] 如图，已知△ABC面积为4，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，求第2 023个三角形的面积． 解：观察图形可知后一个三角形的面积是前一个三角形面积的 eq \f(1,4) .设第n个三角形的面积为an，则数列{an}是首项为a1＝4，公比为 eq \f(1,4) 的等比数列，∴an＝4×( eq \f(1,4) )n－1＝ ( eq \f(1,4) )n－2，∴第2 023个三角形面积为a2 023＝( eq \f(1,4) )2 021＝ eq \f(1,42