课时梯级训练(19) 复数的乘、除运算（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(19)　复数的乘、除运算 1．(1＋i)20－(1－i)20的值是(　　) A．－1 024 B．1 024 C．0 D．512 C　解析：∵(1＋i)2＝2i，∴(1＋i)4＝－4.又(1－i)2＝－2i，∴(1－i)4＝－4，∴(1＋i)20－(1－i)20＝(－4)5－(－4)5＝0. 2．已知复数z1＝3－bi，z2＝1－2i，若是实数，则实数b等于(　　) A．6 B．－6 C．0 D． A　解析：∵＝＝＝是实数，∴6－b＝0，∴实数b的值为6.故选A. 3．若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t等于(　　) A． B． C．－ D．－ A　解析：∵z2＝t＋i，∴2＝t－i，∴z1·2＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i是实数．∴4t－3＝0，∴t＝. 4．已知a∈R，i是虚数单位，若z＝＋ai，z·＝4，则a＝________. 答案：±1　解析：由题意得＝－ai，故z·＝3＋a2＝4，解得a＝±1. 5．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝________. 答案：1　解析：＝2－ai＝b＋i，即得∴a＋b＝1. 6．在复数范围内方程2x2＋3x＋4＝0的解为________. 答案：　解析：因为Δ＝b2－4ac＝32－4×2×4＝9－32＝－23<0，所以方程2x2＋3x＋4＝0的根为x＝＝. 7．已知复数z＝. (1)求复数z； (2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值． 解：(1)z＝＝＝＝1＋i. (2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i， 得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i， 整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i， 所以解得 8．计算：(1)(1－i)(3＋2i)＋(2＋2i)2； (2)＋；(3). 解：(1)原式＝(3＋2i－3i＋2)＋(4＋8i－4) ＝(5－i)＋8i＝5＋7i. (2)原式＝＋ ＝＋ ＝(1－)＋(＋1)i－i＝(1－)＋i. (3)原式＝＝＝＝＝2. 9．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z＝＋bi(a，b∈R)为“理想复数”，则(　　) A．a－5b＝0 B．3a－5b＝0 C．a＋5b＝0 D．3a＋5b＝0 D　解析：z＝＋bi＝＋bi＝＋(＋b)i.由题意知，＝－－b，则3a＋5b＝0. 10．(多选)设复数z满足＝－i，则下列说法正确的是(　　) A．z为纯虚数 B．在复平面内，对应的点位于第三象限 C．z的虚部为2i D．|z|＝ BD　解析：由＝－i，得z＝＝＝－1＋2i，故z的虚部为2，|z|＝＝，＝－1－2i，则对应的点位于第三象限．故选BD. 11．在复数范围内方程x2－2x＋5＝0的两根分别为α，β，则|α|＋|β|等于(　　) A．2 B．2 C． D．5 B　解析：因为方程x2－2x＋5＝0， 所以Δ＝(－2)2－4×5＝－16<0， 所以x＝＝1±2i. 不妨令α＝1＋2i，则β＝1－2i， 则|α|＋|β|＝|1＋2i|＋|1－2i|＝＋＝2. 12．设复数z＝－2＋i，若复数z＋的虚部为b，则b等于________. 答案：　解析：因为z＝－2＋i，所以z＋＝－2＋i＋＝－2＋i＋＝－2＋i－－i＝－＋i，所以b＝. 13．已知i为虚数单位，若复数z＝，z的共轭复数为，则|z·＋z2 023|＝________． 答案：　解析：依题意，得z＝＝i，所以＝－i，所以z·＝i·(－i)＝1，z2 023＝(i)2 023＝－i，所以|z·＋z2 023|＝|1－i|＝. 14．复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值． 解：z＝＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi. 由|z|＝4，得a2＋b2＝4.① ∵复数0，z，对应的点构成正三角形， ∴|z－|＝|z|. 把z＝－2a－2bi代入化简得a2＝3b2.② 又∵z对应的点在第一象限，∴a＜0，b＜0.③ 由①②③得 故所求值为a＝－，b＝－1. 15．欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”．若复数z满足(eiπ＋i)·z＝i，则|z|＝(　　) A．1 B． C． D． B　解析：由题意z＝＝＝＝＝＝－i，∴|z|＝＝.故选B. 16．现有以下三个式子：①；②；③(i为虚数单位).某同学在解题时发现以上三个式子的值都等于同一个常数． (1)从三个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据三个式子的