课时梯级训练(17) 复数的几何意义（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(17)　复数的几何意义 1．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是(　　) A．(1，) B．(1，) C．(1，3) D．(1，5) B　解析：|z|＝，∵0＜a＜2，∴1＜a2＋1＜5，∴|z|∈(1，).故选B. 2．复数z1＝1＋i，z2＝1－i在复平面内对应的点关于(　　) A．实轴对称 B．虚轴对称 C．一、三象限平分线对称 D．二、四象限平分线对称 A　解析：由实部相等，虚部互为相反数得两复数互为共轭复数，故在复平面内对应的点关于实轴对称． 3．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹为(　　) A．一个圆 B．线段 C．两点 D．两个圆 A　解析：∵|z|2－2|z|－3＝0，∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，∴|z|＝3或|z|＝－1(舍去)，表示一个圆．故选A. 4．(多选)设复数z＝－1－2i，i为虚数单位，则(　　) A．|z|＝ B．复数z在复平面内对应的点在第四象限 C．z的共轭复数为－1＋2i D．复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上 AC　解析：|z|＝＝，A项正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，B项不正确；z的共轭复数为－1＋2i，C项正确；复数z在复平面内对应的点(－1，－2)不在直线y＝－2x上，D项不正确．故选AC. 5．若复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________. 答案：(3，＋∞)　解析：∵复数z在复平面内对应的点位于第四象限，∴解得x>3. 6．若复数3－5i，1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________. 答案：5　解析：由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可得a＝5. 7．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z＝________. 答案：－1＋i　解析：因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a<0.由|z|＝2知，＝2，解得a＝－1，所以z＝－1＋i. 8．已知复数－1＋i，－3－4i，4＋3i，4i，－i. (1)在如图所示的复平面内，作出各复数对应的向量； (2)求各复数的模； (3)求各复数的共轭复数． 解：(1)设复数－1＋i，－3－4i，4＋3i，4i，－i对应的向量分别为，，，，，则＝(－1，1)，＝(－3，－4)，＝(4，3)，＝(0，4)，＝(0，－). 如图，在复平面内，作出各复数对应的向量． (2)|－1＋i|＝＝，|－3－4i|＝＝5，|4＋3i|＝＝5，|4i|＝＝4，|－i|＝＝. (3)－1＋i的共轭复数为－1－i， －3－4i的共轭复数为－3＋4i， 4＋3i的共轭复数为4－3i， 4i的共轭复数为－4i， －i的共轭复数为i. 9．已知复数z＝(m－1)＋(m2－m－2)i在复平面内对应点Z. (1)若点Z在虚轴上，求复数z的共轭复数； (2)若点Z在直线y＝2x上，求复数z的模|z|. 解：(1)因为点Z在虚轴上，所以m－1＝0，所以m＝1. 所以z＝－2i.所以复数z的共轭复数＝2i. (2)因为点Z在直线y＝2x上，所以m2－m－2＝2(m－1)， 解得m＝0或m＝3. 所以z＝－1－2i或z＝2＋4i. 所以复数的模|z|＝或|z|＝2. 10．设z∈C，且1≤|z|≤2，在复平面内，z对应点Z，则点Z的轨迹对应图形的面积为(　　) A．π B．2π C．3π D．4π C　解析：由z∈C，且1≤|z|≤2知，在复平面内，z对应的点Z的轨迹图形为圆环，大圆半径为2，小圆半径为1，其面积为π×22－π×12＝3π.故选C. 11．(多选)已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，且a＋b＝1.下列命题正确的是(　　) A．z不可能为纯虚数 B．若z的共轭复数为，且z＝，则z是实数 C．若z＝|z|，则z是实数 D．|z|可以等于 BC　解析：当a＝0时，b＝1，此时z＝i，为纯虚数，A错误；若z的共轭复数为，且z＝，则a＋bi＝a－bi，因此b＝0，B正确；由|z|是实数，且z＝|z|知，z是实数，C正确；由|z|＝得a2＋b2＝，又a＋b＝1，因此8a2－8a＋3＝0，Δ＝64－4×8×3＝－32<0，所以方程无实数解，即|z|不可能等于，D错误．故选BC. 12．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________. 答案：－2＋3i　解析：因为z1＝2－3i在复平面内对应的点的坐标为(2，－3)，且复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，所以z2在复平面内对应的点的坐标为(－2，