课时梯级训练(16) 数系的扩充和复数的概念（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(16)　数系的扩充和复数的概念 1．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为(　　) A．－2 B． C．－ D．2 D　解析：复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，即b＝2. 2．设全集C＝{复数}，R＝{实数}，M＝{纯虚数}，则(　　) A．M∪R＝C B．(∁CM)∪R＝C C．(∁CM)∩R＝R D．M∩(∁CR)＝∅ C　解析：C，R，M三个集合之间的关系如图所示． 所以应有M∪RC，(∁CM)∪R＝∁CM，M∩(∁CR)＝M≠∅，故选项ABD均错误，只有C项正确． 3．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－1或1 A　解析：由复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，得解得x＝－1. 4．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是(　　) A．|a|＝|b| B．a＜0且a＝－b C．a＞0且a≠b D．a≤0 D　解析：复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，故a≤0. 5．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b＝________. 答案：4　解析：由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3，所以a＋b＝4. 6．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是________________． 答案：{a|a>3或a<－1}　解析：由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，解得a>3或a<－1.因此，实数a的取值范围是{a|a>3或a<－1}． 7．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ＝________． 答案：kπ＋(k∈Z)　解析：由复数相等的充要条件得∴tan θ＝1，∴θ＝kπ＋(k∈Z). 8．已知复数z＝(2a2－a－1)＋(a－1)i，a∈R. (1)若z为实数，求a的值； (2)若z为纯虚数，求a的值； (3)若z＝9－3i，求a的值． 解：(1)若z为实数，则a－1＝0，得a＝1. (2)若z为纯虚数， 则解得a＝－. (3)若z＝9－3i， 则解得a＝－2. 9．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R). (1)若z1为纯虚数，求实数m的值； (2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围． 解：(1)∵z1为纯虚数， ∴解得m＝－2. (2)由z1＝z2，得∴m＝cos θ， ∴λ＝4－cos2θ－2sinθ＝sin2θ－2sinθ＋3 ＝(sin θ－1)2＋2. ∵－1≤sin θ≤1， ∴当sin θ＝1时，λmin＝2； 当sin θ＝－1时，λmax＝6. ∴实数λ的取值范围是[2，6]. 10．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：因为a，b∈R，当a＝0时，复数a＋bi不一定是纯虚数，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R.而当复数a＋bi是纯虚数时，a＝0一定成立．所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件． 11．已知a，b∈R，若a2－b＋(a－b)i>2(i为虚数单位)，则a的取值范围是(　　) A．a<－1或a>2 B．a<－2或a>1 C．－1<a<2 D．－2<a<1 A　解析：由a2－b＋(a－b)i>2， 可知a2－b＋(a－b)i为实数． ∴ ∴a2－a－2>0，∴(a－2)(a＋1)>0. ∴a<－1或a>2.故选A. 12．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的__________(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)条件． 答案：充分不必要　解析：当z1＝z2时，必有m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1.显然“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件． 13．已知z1＝(－4a＋1)＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R.若z1＞z2，求a的取值集合． 解：∵z1＞z2，∴∴a＝0， 故所求a的取值集合为{0}． 14．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值． 解：由定义运算＝ad－bc， 得＝3x＋2y＋yi， 故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi. 因为x，y为实数，所以 得得x＝－1，y＝2. 15．若复数z＝(cos θ－)＋(sin θ－)i是纯虚数(i为虚数单位，θ