课时梯级训练(15) 余弦定理、正弦定理的综合应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(15)　余弦定理、正弦定理的综合应用 1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝4，C＝120°，则△ABC的面积为(　　) A． B． C． D．2 C　解析：由解得ab＝4，∴S△ABC＝ab sin C＝. 2．已知三角形面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为(　　) A．1 B．2 C． D．4 A　解析：设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π，得R＝1. ∵S△ABC＝ab sin C＝＝＝，∴abc＝1. 3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知(3b－c)(b2＋c2－a2)＝2abc cos C，则tan A＝(　　) A． B．2 C． D．2 B　解析：由cos A＝，得b2＋c2－a2＝2bc cos A. 又因为(3b－c)(b2＋c2－a2)＝2abc cos C， 得(3b－c)2bc cos A＝2abc cos C， 整理得(3b－c)cos A＝a cos C. 由正弦定理可得3sin B cos A－sin C cos A＝sin A cos C， 即3sin B cos A＝sin (A＋C)＝sin B．因为sin B≠0， 所以cos A＝， 所以tan A＝＝＝2. 4．若△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则BC边的长是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 C　解析：设三边长分别为a，b，c，则解得a＝7，即BC＝7. 5．已知△ABC的面积S＝，A＝，则·＝________. 答案：2　解析：S△ABC＝·||·||·sin A，即＝·||·||×，所以||·||＝4.于是·＝||·||·cos A＝4×＝2. 6．在△ABC中，sin A＝，a＝10，则边长c的取值范围是________. 答案：(0，]　解析：∵＝＝，∴c＝sin C．∴0<c≤. 7．在△ABC中，AB＝，D是BC的中点，且AD＝1，∠BAD＝30°，则△ABC的面积为________. 答案：　解析：因为AB＝，AD＝1，∠BAD＝30°， 所以S△ABD＝××1×sin 30°＝. 又因为D为BC的中点，所以S△ABC＝2S△ABD＝. 8.如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长． 解：在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6， 由余弦定理得cos ∠ADC＝ ＝＝－， 所以∠ADC＝120°，∠ADB＝60°. 在△ABD中，AD＝10，B＝45°，∠ADB＝60°， 由正弦定理得＝， 所以AB＝＝＝＝5. 9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝7，b＝8，cos B＝－. (1)求A； (2)求AC边上的高． 解：(1)在△ABC中，因为cos B＝－， 所以sin B＝＝. 由正弦定理得sinA＝＝. 由题设知<B<π，所以0<A<. 所以A＝. (2)在△ABC中， 因为sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝×(－)＋×＝， 所以AC边上的高为a sin C＝7×＝. 10．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于(　　) A．12 B． C．28 D．6 D　解析：由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝，∴sin A＝，∴S△ABC＝bc sin A＝×3×8×＝6. 11．在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　) A．4 B． C． D．2 A　解析：∵cos ＝，∴cos C＝2cos2－1＝2×()2－1＝－.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×(－)＝32，∴AB＝＝4.故选A. 12．在平面四边形ABCD中，∠BAD＝120°，B＝30°，∠BCD＝60°，AB＝4，AD＝2，则AC＝________． 答案：　解析：延长BC，AD交于点E.由题意可得E＝30°. ∵AE＝AB＝4，AD＝2，∴DE＝2.∵平面四边形ABCD中，∠BAD＝120°，B＝30°，∠BCD＝60°， ∴∠ECD＝120°，∠CDA＝150°，∴∠CDE＝30°，∴CE＝CD.在△CDE中，设CE＝CD＝x.由余弦定理可得4＝x2＋x2－2·x·x cos 120°，解得x＝.在△ACD中，由余弦定理，得 AC＝ ＝＝. 13．已知三角形两边长分别为1和，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为________. 答案：1　解析：如图，AB＝1，BD＝1，BC＝. 设AD