课时梯级训练(14) 余弦定理、正弦定理应用举例（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(14)　余弦定理、正弦定理应用举例 1．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2 km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为 km，则A，B两船的距离为(　　) A．2 km B．3 km C． km D． km D　解析：由题意可得∠ACB＝(90°－25°)＋85°＝150°.又AC＝2 km，BC＝ km，由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 150°＝13，∴AB＝ km. 2.如图，在高速公路建设中，要确定隧道AB的长度，工程人员测得隧道两端的A，B两点到C点的距离分别为AC＝3 km，BC＝4 km，且∠ACB＝60°，则隧道AB的长度为(　　) A．2 km B． km C．2 km D． km D　解析：如图，连接AB，在△ABC中，由已知得AC＝3 km，BC＝4 km，且∠ACB＝60°，故AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB＝32＋42－2×3×4cos 60°＝13，故AB＝ km.故选D. 3．小华想测出操场上旗杆OA的高度，在操场上选取了一条基线BC，请从测得的数据①BC＝12 m，②B处的仰角60°，③C处的仰角45°，④cos ∠BAC＝，⑤∠BOC＝30°中选取合适的，计算出旗杆的高度为(　　) A．10 m B．12 m C．12 m D．12 m D　解析：选①②③⑤，如图所示， 则∠ABO＝60°，∠ACO＝45°.设OA＝x，则OA＝OC＝x，OB＝.在△BOC中，利用余弦定理，BC2＝122＝x2＋()2－2x··，解得x＝12，即OA＝12 m，故选D. 4.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min，则该扇形的半径的长度为(　　) A．50 m B．50 m C．50 m D．50 m B　解析：设该扇形的半径为r m，连接CO，如图所示． 由题意，得CD＝150 m，OD＝100 m，∠CDO＝60°.在△CDO中，由余弦定理，得CD2＋OD2－2CD·OD·cos 60°＝OC2，即1502＋1002－2×150×100×＝r2，解得r＝50. 5.如图，某工程要将一长为100 m，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m. 答案：100　解析：设坡底需加长x m，由正弦定理得＝，解得x＝100. 6.一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile，此船的航速是________n mile/h. 答案：32　解析：设航速为v n mile/h，在△ABS中，AB＝v n mile，BS＝8 n mile，∠BSA＝45°.由正弦定理得＝，解得v＝32. 7．上海世博园中的世博轴是一条1 000 m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧．现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°.据此数据计算，求中国馆到世博轴其中一端的距离． 解：如图，设A，B为世博轴的两端点，C为中国馆．由题意知∠ACB＝120°，且AC＝BC，过点C作AB的垂线交AB于点D.在Rt△CBD中，DB＝500 m，∠DCB＝60°，∴BC＝ m． 8.如图，某货轮在A处看灯塔B在它的北偏东75°处，距离为12 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在它的北偏东120°处，求A，D间的距离． 解：在△ABD中，∠ADB＝60°，∠DAB＝75°， ∴B＝45°. ∴AD＝＝＝24(n mile). 即A与D间的距离为24 n mile. 9．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km处不能收到手机信号．检查员抽查青岛市一考点，在考点正西方向 km处有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12 km/h的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？ 解：如图，考点为A，检查开始处为B. 设检查员行驶到公路上C，D两点之间时收不到信号，即公路上C，D两点到考点的距离为1 km. 在△ABC中，AB＝ km，AC＝1 km，∠ABC＝30°. 由正弦定理，得sin ∠ACB＝·AB＝， ∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)， ∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1 km. 在△