课时梯级训练(13) 正弦定理（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(13)　正弦定理 1．(多选)在△ABC中，若a＝，b＝，B＝，则A的可能取值为(　　) A． B． C． D． AD　解析：由正弦定理得sin A＝＝＝. 又A∈(0，π)，a>b，所以A>B，所以A＝或. 2．在非钝角△ABC中，2b sin A＝a，则B为(　　) A． B． C． D． C　解析：由2b sin A＝a可得2sin B sin A＝sin A，sin A≠0，则sin B＝，且B∈(0，π).又△ABC为非钝角三角形，所以B＝.故选C. 3．在△ABC中，b cos A＝a cos B，则三角形的形状为(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 D　解析：由正弦定理＝＝，及b cos A＝a cos B，得sin B cos A＝sin A cos B，即sin (B－A)＝0.又A，B为三角形的内角，所以B＝A.所以该三角形为等腰三角形．故选D. 4．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则(　　) A．a<b sin A B．a≥b sin A C．a sin B＝b sin A D．a sin A＝b sin B BC　解析：在△ABC中，因为0<sin A≤1，所以≥1.由正弦定理得＝，所以a＝，所以a≥b sin A，B项正确，A项错误；同理，a sin B＝b sin A，C项正确，D项错误．故选BC. 5．在△ABC中，若BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝________． 答案：2　解析：由正弦定理，得AB＝BC＝2BC＝2. 6．在单位圆上有三个点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________. 答案：7　解析：∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，∴＝＝＝2R＝2，∴＋＋＝2＋1＋4＝7. 7．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin A＝________． 答案：　解析：∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，∴B＝.由正弦定理＝，得＝.∴sin A＝. 8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A－C＝90°，a＋c＝b，求C. 解：由A－C＝90°，得A为钝角且sin A＝cos C. 利用正弦定理，a＋c＝b可变形为sin A＋sin C＝sin B. 又因为sin A＝cos C， 所以sin A＋sin C＝cos C＋sin C＝sin (C＋45°)＝sin B，故sin (C＋45°)＝sin B. 又A，B，C是△ABC的内角， 故C＋45°＝B或(C＋45°)＋B＝180°(舍去). 所以A＋B＋C＝(90°＋C)＋(C＋45°)＋C＝180°. 所以C＝15°. 9．在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc.求： (1)角A的大小； (2)的值． 解：(1)由已知条件，得 cos A＝＝＝. ∵A∈(0，π)，∴A＝. (2)由b2＝ac，得＝， ∴＝sin B·＝sin B·＝sin A＝. 10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2b cos C＝2a－c，则B＝(　　) A． B． C． D． C　解析：∵2b cos C＝2a－c，∴2sin B cos C＝2sin A－sin C＝2sin B cos C＋2sin C cos B－sin C，∴2sin C cos B－sin C＝0.∵C为三角形的内角，sin C≠0，∴cos B＝.∵B∈(0，π)，∴B＝.故选C. 11．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若解三角形时有两解，则(　　) A．x>2 B．x<2 C．2<x<2 D．2<x≤2 C　解析：根据题意作图，如图所示， 当x的值确定以后，以C为圆心，2为半径的圆与c边的交点即为顶点A的位置．由图可知，两种临界条件分别为：(1)圆与c边所在直线相切，此时∠CAB＝90°，三角形只有一个解，此时根据正弦定理＝，可得x＝2；(2)圆过点B时，∠CAB＝45°，三角形只有一个解，此时x＝2.所以当2<x<2时，三角形有两个解，所以x的取值范围为2<x<2.故选C. 12．在△ABC中，已知B＝60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角的正切值为________． 答案：2＋　解析：不妨设a为最大边，c为最小边，由题意有＝＝，即＝，整理得(3－)sin A＝(3＋)cos A．∴tan A＝2＋. 13．在钝角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2A＋sin2B>sin2C，且a＝3，c＝5，则b的取值范围为_______