课时梯级训练(12) 余弦定理（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(12)　余弦定理 1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝3，b＝2，cos C＝，则c等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 B　解析：因为a＝3，b＝2，cos C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝9＋4－2×3×2×＝9，所以c＝3.故选B. 2．在△ABC中，若ac＝8，a＋c＝7，B＝，则b＝(　　) A．25 B．5 C．4 D． B　解析：由余弦定理得b＝＝＝＝5.故选B. 3．在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 D　解析：在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c.结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形．故选D. 4．(多选)△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下命题，其中正确的有(　　) A．sin (B＋C)＝sin A B．cos (B＋C)＝cos A C．若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形 D．若a2＋b2<c2，则△ABC为锐角三角形 AC　解析：依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin (B＋C)＝sin (π－A)＝sin A，A项正确；cos (B＋C)＝cos (π－A)＝－cos A，B项不正确；若a2＋b2＝c2，则C＝，△ABC为直角三角形，C项正确；若a2＋b2<c2，则cos C＝<0，而0<C<π，即有<C<π，△ABC为钝角三角形，D项不正确．故选AC. 5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝C，2b＝a，则cos A＝________． 答案：　解析：由B＝C，2b＝a，可得b＝c＝a，所以cos A＝＝＝. 6．我国古代数学著作《九章算术》中用“圭田”一词代指等腰三角形田地．若一“圭田”的腰长为4，顶角的余弦值为，则该“圭田”的底边长为________． 答案：2　解析：设“圭田”的底边长为x，则由余弦定理可得x2＝42＋42－2×4×4×＝8，解得x＝2，即该“圭田”的底边长为2. 7．在△ABC中，若a＝2b cos C，则△ABC的形状为________． 答案：等腰三角形　解析：∵a＝2b cos C＝2b·＝， ∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等腰三角形． 8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若cos A＝，b＝3c，试判断△ABC的形状． 解：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A. 又因为cos A＝，b＝3c， 所以a2＝b2＋c2－2×3c×c×＝b2－c2. 所以a2＋c2＝b2，所以B＝， 所以△ABC是直角三角形． 9．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，且2cos (A＋B)＝1.求： (1)角C的度数； (2)AB的长度． 解：(1)cos C＝cos [π－(A＋B)]＝－cos (A＋B)＝－. 又0°<C<180°，所以C＝120°. (2)因为a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根， 所以 所以由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C＝b2＋a2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(2)2－2＝10. 所以AB＝. 10．若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为(　　) A．19 B．14 C．－18 D．－19 D　解析：设角A，B，C的对边分别为a，b，c，依题意，得a＝5，b＝6，c＝7.∴·＝||·||·cos (π－B)＝－ac cos B．由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B， ∴－ac·cos B＝(b2－a2－c2)＝(62－52－72)＝－19， ∴·＝－19. 11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若A＝，a＝4，则bc的最大值为(　　) A． B．16 C． D．32 B　解析：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，因为A＝，a＝4，所以16＝b2＋c2－bc.因为b2＋c2≥2bc，所以16＋bc≥2bc，即bc≤16，当且仅当b＝c＝4时等号成立．即bc的最大值为16. 12．已知锐角三角形ABC的边长分别为x，，x＋1，则实数x的取值范围为(　　) A．(1，2) B．(2，3) C．(，2) D．(2，5) A　解析：因为锐角三角形ABC的边