课时梯级训练(11) 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(11)　平面几何中的向量方法　向量在物理中的应用举例 1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为(　　) A．v1－v2 B．v1＋v2 C．|v1|－|v2| D． B　解析：由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．故选B. 2．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3，2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝(　　) A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(－1，2) D．(1，2) D　解析：由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1，2). 3．在△ABC中，若·＋2＝0，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 C　解析：因为·＋2＝0，所以·(＋)＝0，所以·＝0，所以⊥，所以∠BAC是直角，△ABC是直角三角形． 4．若＝2e1，＝－3e1，||＝||，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 B．梯形 C．等腰梯形 D．菱形 C　解析：因为＝－，所以∥ 且||≠||，所以四边形ABCD是梯形．又因为||＝||，即梯形的两腰相等，所以四边形ABCD是等腰梯形．故选C. 5．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1，2)从点A(4，6)处移动到点B(7，12)处，其所用时间为________． 答案：3　解析：设所用时间为t，则＝tv，即(3，6)＝t(1，2)，所以t＝3. 6．在四边形ABCD中，若＝(1，3)，＝(－6，2)，则该四边形的面积为________． 答案：10　解析：∵·＝0，∴⊥，即AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积S＝||||＝××2＝10. 7．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝________. 答案：1　解析：建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(2，0).设AD＝a，则C(1，a)，＝(1，a)，＝(－1，a).因为AC⊥BC，所以⊥. 所以·＝－1＋a2＝0，所以a＝1(负值舍去)，即AD＝1. 8.如图，一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东60°；|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功． 解：以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 则F1＝(1，)，F2＝(2，2)，F3＝(－3，3)， 所以F＝F1＋F2＋F3＝(2－2，2＋4). 又位移s＝(4，4)， 故合力F所做的功为 W＝F·s＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝4×6＝24(J). 即合力F所做的功为24 J． 9.如图，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC. 证明：设＝a，＝b，＝e， ＝c，＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d， 所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知可得a2－b2＝c2－d2， 所以e·(c－d)＝0. 因为＝＋＝d－c， 所以·＝e·(d－c)＝0， 所以⊥，即AD⊥BC. 10.(多选)如图，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项正确的是(　　) A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断减小 C．船的浮力不断减小 D．船的浮力保持不变 AC　解析：设水的阻力为f，绳的拉力为F，绳AB与水平方向夹角为θ(0＜θ＜)，则|F|cos θ＝|f|，∴|F|＝. ∵θ增大，cos θ减小，∴|F|增大．∵|F|sin θ增大，∴船的浮力减小． 11.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·的值是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ B　解析：＝＋，＝＋，且＝－，所以·＝(＋)·(＋)＝2－2＝－1＝－. 12.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图所示，已知物体的重力大小为10 N，则每根绳子的拉力大小是________. 答案：10 N　解析：因为绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，即2|F|cos 60°＝10，|F|＝10，故每根绳子的拉力大小都是10 N． 13．在△ABC中，若∠BAC＝，AB＝2，AC＝3，＝2，则||＝________． 答案：　解析：由题意可得＝＋＝＋＝＋＝＋， 所以||2＝2＝＋||·||cos ＋1＝，所以||＝. 14．如图，O是平行四边形ABCD的中心，E，