课时梯级训练(10) 平面向量数量积的坐标表示（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(10)　平面向量数量积的坐标表示 1．(多选)设向量a＝(2，0)，b＝(1，1)，则(　　) A．|a|＝b2 B．a·b＝0 C．a∥b D．(a－b)⊥b AD　解析：|a|＝b2＝2，故A项正确；a·b＝2，故B项错误；2×1－1×0＝2≠0，故C项错误；a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0，所以(a－b)⊥b，故D项正确． 2．已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 A　解析：由题设知＝(8，－4)，＝(2，4)，＝(－6，8)，所以·＝2×8＋(－4)×4＝0，即⊥.所以∠BAC＝90°.故△ABC是直角三角形． 3．已知＝(1，3)，＝(3，m)，·＝2，则||＝(　　) A．1 B．2 C． D．3 B　解析：因为＝－＝(2，m－3)，所以·＝2＋3(m－3)＝2，解得m＝3，所以＝(2，0)，则||＝2.故选B. 4．已知向量a＝(2，1)，|b|＝，|a－b|＝5，则a与b的夹角为(　　) A．45° B．60° C．120° D．135° D　解析：∵a＝(2，1)，∴|a|＝＝，∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|·cos 〈a，b〉＋|b|2＝15－10cos 〈a，b〉＝25，解得cos 〈a，b〉＝－.又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝，即a与b的夹角为135°.故选D. 5．已知a＝(－1，1)，b＝(1，2)，则a·(a＋2b)＝________． 答案：4　解析：∵a＋2b＝(1，5)，∴a·(a＋2b)＝4. 6．已知平面向量a＝(2，4)，b＝(－1，2).若c＝a－(a·b)·b，则|c|等于________． 答案：8　解析：易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c|＝＝8. 7．△ABC为等腰直角三角形，OC为斜边AB上的高，O为垂足，OA＝1，P为线段OC的中点，则·＝________． 答案：　解析：如图，分别以边CB，CA所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 根据条件知CA＝CB＝，∴A(0，)，B(，0)，O(，)，P(，)，∴＝(，－)， ＝(－，－)，∴·＝－＋＝. 8．已知a＝(1，2)，b＝(1，－1). (1)若θ为2a＋b与a－b的夹角，求θ的值； (2)若2a＋b与ka－b垂直，求k的值． 解：(1)因为a＝(1，2)，b＝(1，－1)， 所以2a＋b＝(3，3)，a－b＝(0，3). 所以cos θ＝＝＝. 因为θ∈[0，π]，所以θ＝. (2)ka－b＝(k－1，2k＋1)， 依题意(3，3)·(k－1，2k＋1)＝0， 所以3k－3＋6k＋3＝0，所以k＝0. 9．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1). (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值． 解：(1)由题设知＝(3，5)，＝(－1，1)，则＋＝(2，6)，－＝(4，4). 所以|＋|＝2，|－|＝4. 故所求的两条对角线的长分别为2，4. (2)由题设知，＝(－2，－1)， －t＝(3＋2t，5＋t). 由(－t)·＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0， 从而5t＝－11，所以t＝－. 10．(多选)已知a＝(1，3)，b＝(－2，1)，c＝(3，－5)，则(　　) A．(a＋2b)⊥c B．(a＋2b)∥c C．|a＋c|＝2 D．|a＋c|＝2|b| BD　解析：由a＝(1，3)，b＝(－2，1)，c＝(3，－5)，可得a＋2b＝(－3，5)，(a＋2b)·c＝－3×3＋5×(－5)≠0，故(a＋2b)与c不垂直，A项不正确；a＋2b＝(－3，5)＝－c，即(a＋2b)∥c，B项正确；a＋c＝(4，－2)，有|a＋c|＝≠2，C项不正确；|b|＝＝，由选项C知|a＋c|＝2，|a＋c|＝2|b|，D项正确．故选BD. 11．(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb.若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 C　解析：由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，所以a·c＝3(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，即＝，即＝3＋t，解得t＝5.故选C. 12．在边长为2的正方形ABC