课时梯级训练(6) 向量数量积的运算律（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(6)　向量数量积的运算律 1．已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)的值为(　　) A． B． C．3 D．5 C　解析：由题意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3. 2．(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 C　解析：由|a－2b|＝3，得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9.又|a|＝1，|b|＝，所以a·b＝1.故选C. 3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且|a－b|＝|a＋b|，则|2a＋b|＝(　　) A．4 B． C． D．2 D　解析：由|a－b|＝|a＋b|两边平方化简可得a·b＝0，所以(2a＋b)2＝4a2＋b2＋4a·b＝8，所以|2a＋b|＝2.故选D. 4．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． C　解析：设向量a与b的夹角为θ.因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cos θ＝3，所以cos θ＝－.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 5．在△ABC中，记＝m，＝n，则·(＋)＝________. 答案：n2－m2　解析：因为＝－＝n－m，所以·(＋)＝(n－m)·(n＋m)＝n2－m2. 6．已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________. 答案：　解析：由题意，得a·b＝|a||b|cos 45°＝.因为向量ka－b与a垂直，所以(ka－b)·a＝ka2－a·b＝k－＝0，解得k＝. 7．若向量a，b，c满足a∥b，a⊥c，求c·(a＋2b)的值． 解：∵a∥b，a⊥c，∴b⊥c，∴a·c＝0，b·c＝0，∴c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0. 8．已知向量a，b的夹角为，|a|＝1，|b|＝2. (1)求a·b的值； (2)若2a－b和ta＋b垂直，求实数t的值． 解：(1)a·b＝|a||b|cos ＝1×2×(－)＝－1. (2)因为2a－b和ta＋b垂直，所以(2a－b)·(ta＋b)＝0，整理得2t|a|2＋(2－t)a·b－|b|2＝0，即2t－(2－t)－4＝0，解得t＝2. 9．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝. (1)求|b|. (2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值． 解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，即a2－b2＝， 即|a|2－|b|2＝， 所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|＝. (2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1， 所以|a＋2b|＝1. 又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－＝， 所以cos θ＝＝. 又θ∈[0，π]，故θ＝. 10．(多选)已知正三角形ABC的边长为2，设＝2a，＝b，则(　　) A．|a＋b|＝1 B．a⊥b C．(4a＋b)⊥b D．a·b＝－1 CD　解析：分析知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角是120°，故B项错误；∵(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3，∴|a＋b|＝，故A项错误；∵(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×cos 120°＋4＝0，∴(4a＋b)⊥b，故C项正确；a·b＝1×2×cos 120°＝－1，故D项正确． 11．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝2，则·＝(　　) A．2 B．4 C．3 D． B　解析：根据向量的线性运算，结合平面向量数量积的定义可得·＝(＋)·＝·＋·.由AD⊥AB，可知·＝0，又因为＝，||＝2，所以·＝·＝||·||·cos ∠ADB＝×2×||×＝4.故选B. 12．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________． 答案：　解析：|α|＝1，|β|＝2，由α⊥(α－2β)知，α·(α－2β)＝0，解得2α·β＝1，所以|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10.故|2α＋β|＝. 13．如图，在圆C中弦AB的长度为6，则·＝________. 答案：18　解析：如图，取AB的中点O，连接CO，则CO⊥AB.∵在圆C中弦AB的长度为6， ∴·＝(＋)·＝·＋·＝2＝×6×6＝18. 14．已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb. (1)当|u|取最小值时，求实数t的值； (2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？ 解：(1)|u|2＝|a＋tb|2＝(a＋tb)·(a＋tb) ＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|