课时梯级训练(4) 向量的数乘运算（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(4)　向量的数乘运算 1．(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题正确的是(　　) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n AB　解析：由ma＝mb得m(a－b)＝0，当m＝0时也成立，推不出a＝b，C项错误；由ma＝na得(m－n)a＝0，当a＝0时也成立，推不出m＝n，D项错误． 2．已知点C在直线AB上，且＝3，则等于(　　) A．－2 B． C．－ D．2 D　解析：如图，＝3，所以＝2. 3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O.若＋＝λ，则λ＝(　　) A． B．2 C． D． B　解析：在平行四边形ABCD中，＝＋＝λ，所以λ＝2.故选B. 4．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为(　　) A．－1或3 B． C．－1或4 D．3或4 A　解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m(2－m)＝－3，解得m＝－1或m＝3. 5．化简(a＋b)－(b－a)＋(0－a)＝________. 答案：a＋b　解析：原式＝a＋b－b＋a＋0－a＝(a＋a－a)＋(b－b)＋0＝a＋b. 6．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________． 答案：±　解析：由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|. ∵|a|＝3，|b|＝5，∴|λ|＝，即λ＝±. 7．如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且＝＝，则＝________. 答案：　解析：∵＝＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC. ∴＝.又与同向，∴＝. 8．计算： (1)(a＋2b)＋(3a－2b)－(a－b)； (2)[(3a＋2b)－a－b]－[a＋(b＋a)]. 解：(1)原式＝(＋－)a＋(－＋)b＝a＋b. (2)原式＝(a＋b)－(a＋b)＝a＋b－a－b＝0. 9．在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示和. 解：如图，设＝a，＝b.∵M，N分别是DC，BC的中点， ∴＝b，＝a. 在△ADM和△ABN中， 即 ①×2－②，得b＝(2c－d)； ②×2－①，得a＝(2d－c). ∴＝d－c，＝c－d. 10．已知P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　) A．△ABC内部 B．AC边所在的直线上 C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上 B　解析：∵＝λ＋，∴－＝λ.∴＝λ.∴P，A，C三点共线．∴点P一定在AC边所在的直线上． 11．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是(　　) A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0 C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0) D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b AB　解析：由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故A项满足题意；λa－μb＝0，λa＝μb，又λ≠μ，故B项满足题意；当x＝y＝0时，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故C项不满足题意；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故D项不满足题意．故选AB. 12．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么(　　) A．＝ B．＝ C．＝－ D．＝－ B　解析：因为2＋＋＝0，所以＋＝－2.因为D为边BC的中点，所以＋＝2，所以＝－，所以＝. 13．已知△AOB，点P在直线AB上，且满足＝2t＋t(t∈R)，则t＝________． 答案：1　解析：∵＝2t(－)＋t，∴(2t＋1)·＝2t＋t.显然2t＋1≠0.∴＝＋·.∵A，B，P三点共线，∴＋＝1，∴t＝1. 14．已知E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点．设＝a，＝b，试用a，b表示. 解：如图，取AB的中点P，连接EP，FP. 在△ABC中，EP是中位线，所以＝＝a. 在△ABD中，FP是中位线， 所以＝＝－＝－b. 在△EFP中，＝＋＝－＋ ＝－a－b＝－(a＋b). 15．如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD，求证：M，N，C三点共线． 证明：＝－， 因为＝，＝＝(＋)， 所以＝－＝＋－＝－，① ＝－＝－.② 由①②可知＝3，即∥ . 又因为MC，MN有公共点M， 所以M，N，C三点共线． 学科网（北京）股份有限公司 $$