习题课 球的截面及切、接问题（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

习题课　球的截面及切、接问题 [对应学生用书P71] 学习目标 1.了解球的截面的性质． 2．掌握与球有关的切、接问题的解题方法． 球的截面性质 性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截线是圆． 性质2：球心和不过球心的截面的圆心的连线垂直于截面． 性质3：球心O到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系：r＝. 综合应用一：球截面问题 [例1] 若平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　) A．π B．4π C．4π D．6π B　解析：如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝，O′M＝1，所以OM＝＝.即球的半径为，所以V＝π()3＝4π. 球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题． [练1] 已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的倍，且AC＝8，BC＝6，AB＝10，则球的表面积是________，体积是________. 答案： 400π　π　解析：如图，设球的半径为R，球心为O，截面圆心为O1，则OO1＝R. 在△ABC中，因为AC2＋BC2＝AB2，所以∠ACB＝90°，所以O1是AB的中点，即O1A＝5. 又OO＋O1A2＝OA2，所以(R)2＋52＝R2， 所以R2＝100，R＝10. 所以球的表面积S球＝4πR2＝4π×102＝400π，球的体积V球＝πR3＝π×103＝π. 综合应用二：球的外接问题 [例2] 若正三棱柱ABC­A′B′C′的底面边长为2，侧棱长为1，其顶点都在同一个球面上，求该球的表面积． 解：如图，H′，H分别为上、下底面的中心，HH′的中点O即为外接球的球心． 由题意得，在Rt△OAH中，AH＝，OH＝， 则外接球的半径R＝OA＝＝， 表面积S＝4πR2＝. 特殊几何体外接球问题 (1)定球心．找几何体的外接球球心，即找点O，使点O与几何体各顶点的距离相等． (2)定半径．构造三角形，特别是直角三角形，然后计算外接球半径． (3)下结论．正棱锥的外接球球心在底面的垂线上，直棱柱的外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点． [练2] 若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积． 解：如图，在底面正六边形ABCDEF中，连接BE，AD交于点O，连接BE1，则BE＝2OE＝2DE，所以BE＝. 在Rt△BEE1中，BE1＝＝2， 所以2R＝2，则R＝. 所以所求的球的体积V球＝πR3＝4π， 表面积S球＝4πR2＝12π. [例3] 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的体积是________． 答案：　解析：三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则可将三棱锥补成正方体． 从而其外接球的直径为3，半径为， 故所求外接球的体积V＝×()3＝. 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a，b，c，则可以将这个三棱锥补形成一个长方体，长方体的体对角线的长就是该三棱锥外接球的直径，即2R＝. [练3] 在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝，AA1＝2，则三棱柱ABC­A1B1C1的外接球的表面积为(　　) A．32π B．16π C．12π D．8π D　解析：将三棱柱ABC­A1B1C1补成长方体，如图， 则长方体的外接球就是三棱柱ABC­A1B1C1的外接球．因为AB＝1，BC＝，AA1＝2，所以长方体的外接球半径R＝＝，所以三棱柱ABC­A1B1C1的外接球半径为，所以表面积为S＝4πR2＝4π()2＝8π. [例4] 若正三棱锥A­BCD内接于球O，且底面边长为，侧棱长为2，求该球O的表面积． 解：如图，设三棱锥A­BCD的外接球的半径为r，M为正三角形BCD的中心． 因为BC＝CD＝BD＝，AB＝AC＝AD＝2，AM⊥平面BCD，所以DM＝1，AM＝.又OA＝OD＝r，所以(－r)2＋1＝r2，解得r＝，所以球O的表面积S＝4πr2＝. 作轴截面圆的方法 找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，该圆的半径就是所求的外接球的半径． [练4] 已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________． 答案：　解析：如图，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O. 因为正四棱锥P­ABCD中，AB＝2，所以AO′＝.因为PO′＝4，所以在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，所以R2＝()2＋(4－R)2，解得R＝，所以该球的表面积为4πR2＝4π×()2＝. 综合应用3：空间几何体内切球问题 [例5] 在底面是正方形的四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面A