8.6.3 第2课时 平面与平面垂直的性质及应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

第2课时　平面与平面垂直的性质及应用 [对应学生用书P102] 学习目标 1.掌握面面垂直的性质定理，能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题． 2．能综合线线、线面、面面垂直的定理和性质证明简单问题． 知识点　面面垂直的性质定理 黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？ 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 对面面垂直的性质定理的理解 (1)定理成立的条件有三个： ①两个平面互相垂直； ②直线在其中一个平面内； ③直线与两平面的交线垂直． (2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直． (3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直． [例1] 如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB. 证明：如图，过点A作AE⊥PB，垂足为E. 因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB， 所以AE⊥平面PBC. 因为BC⊂平面PBC，所以AE⊥BC， 因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC， 因为PA∩AE＝A，PA，AE⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB. 应用面面垂直性质定理要注意的问题 应用面面垂直性质定理证明相关问题时，一般需要作辅助线——过其中一个平面内一点作交线的垂线，使之转化为面面垂直，然后，进一步转化为线线垂直． [练1] 设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，试判断直线a与平面α的位置关系． 解：如图，设α∩β＝c，过点P在平面α内作直线b⊥c. 根据平面与平面垂直的性质定理有b⊥β. 因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直， 所以直线a与直线b重合，因此a⊂α. 综合应用：线线、线面、面面垂直的综合 [例2] 如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点． 求证：(1)EN∥平面PDC； (2)BC⊥平面PEB； (3)平面PBC⊥平面ADMN. 证明：(1)因为AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC， 所以AD∥平面PBC. 又因为平面ADMN∩平面PBC＝MN，所以AD∥MN. 又因为BC∥AD，所以MN∥BC. 又因为N是PB的中点，所以点M为PC的中点． 所以MN∥BC且MN＝BC. 因为E为AD的中点，DE＝AD＝BC＝MN，所以MN∥DE且MN＝DE. 所以四边形DENM为平行四边形． 所以EN∥DM，又DM⊂平面PDC，EN⊄PDC， 所以EN∥平面PDC. (2)因为四边形ABCD是边长为2的菱形， 且∠BAD＝60°，E为AD的中点，所以BE⊥AD. 又因为侧面PAD是正三角形，且E为AD的中点，所以PE⊥AD，又因为BE∩PE＝E，BE，PE⊂平面PEB， 所以AD⊥平面PBE. 又因为AD∥BC，所以BC⊥平面PEB. (3)由(2)知AD⊥平面PBE， 又PB⊂平面PBE，所以AD⊥PB. 又因为PA＝AB，N为PB的中点，所以AN⊥PB. 又AN∩AD＝A，AN，AD⊂平面ADMN，所以PB⊥平面ADMN. 又因为PB⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面ADMN. 垂直关系的转化 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下： [练2] 如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足． (1)求证：PA⊥平面ABC； (2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形． 证明：(1)在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G.因为平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，所以DF⊥平面PAC. 因为PA⊂平面PAC，所以DF⊥PA. 同理可证，DG⊥PA. 因为DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，所以PA⊥平面ABC. (2)连接BE并延长交PC于点H. 因为E是△PBC的垂心，所以PC⊥BH. 又因为AE是平面PBC的垂线，所以PC⊥AE. 因为BE∩AE＝E，BE，AE⊂平面ABE，所以PC⊥平面ABE，又AB⊂平面ABE，所以PC⊥AB. 又因为PA⊥平面ABC，且AB⊂平面ABC，所以PA⊥AB. 因为PA∩PC＝P，PA，PC⊂平面PAC，所以AB⊥平面PAC.因为AC⊂平面PAC， 所以AB⊥AC，即△ABC是直角三角形． 1．知识清单 (1)面面垂直的性质定理． (2)线线