8.6.3 第1课时 平面与平面垂直的判定及应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

8．6.3　平面与平面垂直 第1课时　平面与平面垂直的判定及应用 [对应学生用书P99] 学习目标 1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角． 2．掌握两个平面互相垂直的概念，并能用定义和定理判定面面垂直． 知识点一　二面角及二面角的平面角 观察以下三个二面角，看看它们的大小． 1．二面角与平面几何中的平面角有什么区别？ 2．构成二面角的要素有哪些？ 二面角的有关概念 　(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． (2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面． (3)画法： (4)记法：二面角α­l­β或α­AB­β或P­l­Q或P­AB­Q． (5)二面角的平面角：若有： ①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l， 则二面角α­l­β的平面角是∠AOB． (6)二面角的平面角的取值范围：0°≤α≤180°. (7)直二面角：平面角为直角的二面角． 二面角与平面几何中的角的对比 平面几何中的角 二面角 图形 定义 从平面内一点出发的两条射线组成的图形 从一条直线出发的两个半平面组成的图形 表示法 由射线－点(顶点)－射线构成，即为∠AOB 由半平面－线(棱)－半平面构成，记为二面角α­l­β 意义 定量的反映两条直线的位置关系 定量的反映两个平面的位置关系 [例1] 如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD. (1)求二面角A­CD­P平面角的大小； (2)求二面角B­PA­C平面角的大小． 解：(1)因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD. 又四边形ABCD为正方形， 所以CD⊥AD. 又PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD. 所以∠PDA是二面角A­CD­P平面角，易求∠PDA＝45°.即二面角A­CD­P平面角的度数为45°. (2)因为PA⊥平面ABCD，AB，AC⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，AC⊥PA. 所以∠BAC为二面角B­PA­C的平面角． 又四边形ABCD为正方形，所以∠BAC＝45°. 即二面角B­PA­C平面角的度数为45°. 求二面角的关键点、步骤及注意点 (1)关键点：求二面角的大小关键是要找出或作出平面角． (2)步骤：一般是把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角→证明→计算． 提醒：为在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等． [练1] 已知正四棱锥(底面为正方形，各侧面为全等的等腰三角形)的体积为12，底面对角线的长为2，求侧面与底面所成的二面角的平面角的大小． 解：设正四棱锥为S­ABCD，如图所示，高为h，底面边长为a， 则2a2＝(2)2，所以a2＝12.又a2h＝12，所以h＝＝3. 设O为S在底面上的射影，作OE⊥CD于点E，连接SE，可知SE⊥CD，∠SEO为所求二面角的平面角． tan ∠SEO＝＝＝＝，所以∠SEO＝60°. 所以侧面与底面所成二面角的大小为60°. 知识点二　面面垂直的判定定理及其应用 1．平面与平面垂直 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作α⊥β． (2)画法：画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直． 2．平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 符号语言 a⊂α，a⊥β⇒α⊥β 详解平面与平面垂直的判定定理 (1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直． (2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决． [例2] 如图，在四面体ABCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，且SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC. 证明：(1)方法一(利用定义证明)　因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC， 所以△ASB和△ASC是等边三角形， 则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC. 令SA＝a，则△ABC和△SBC为公共底边BC的等腰三角形．取BC的中点D，如图所示， 连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC， 所以∠ADS为二面角A­BC­S的平面角． 在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a， 所以SD＝a，BD＝＝a. 在Rt△ABD中，AD＝a， 在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2， 所以∠ADS＝90°，即二面角A­BC­S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC. 方法二(利用判定定理)　因为SA＝SB＝SC，且∠BS