8.6.2 第1课时 直线与平面垂直的判定（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

8.6.2　直线与平面垂直 第1课时　直线与平面垂直的判定 [对应学生用书P93] 学习目标 1.了解直线与平面垂直的定义，了解直线与平面所成角的概念． 2．掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判断线面垂直． 知识点一　直线与平面垂直的定义 直线与平面垂直的相关概念 定义 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关 概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 结论 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条 垂线段 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离 定义中的任意一条直线指每一条直线，不同于无数条直线；若l⊥α，c⊂α，则l⊥c. [练1] (多选)下列四个命题中正确的是(　　) A．若直线l垂直于平面α，则直线l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行 B．若直线l不垂直于平面α，则平面α内没有与直线l垂直的直线 C．若直线l不垂直于平面α，则平面α内也可以有无数条直线与直线l垂直 D．过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条 CD　解析：直线l与平面α内的所有直线都垂直，所以A项不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以B项不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以C项正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以D项正确．故选CD. [练2] 直线a⊥直线b，直线b⊥平面β，则直线a与平面β的关系是(　　) A．a⊥β B．a∥β C．a⊂β D．a⊂β或a∥β D　解析：若直线a⊂β，直线b⊥平面β，可证得a⊥b；若直线a∥β，过a作平面α，α∩β＝c，b⊥平面β，c⊂β，则b⊥c，a∥c，所以b⊥a. 直线与平面垂直定义的“双向”作用 (1)证明线面垂直：若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，则该直线与已知平面垂直，即线线垂直⇒线面垂直． (2)证明线线垂直：若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直，即线面垂直⇒线线垂直． 知识点二　线面垂直判定定理及其应用 观察下面旗杆以及书脊所在直线与地面的位置关系． 旗杆和书脊所在直线与地面、桌面有什么位置关系？ 直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α 图形语言 (1)虽然平面内直线有无数多条，但它却可以由两条相交直线完全确定． (2)不能用一条直线与平面内的两条平行直线垂直来判断此直线与平面垂直． [例1] 如图，直角△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．求证：直线SD⊥平面ABC. 证明：因为SA＝SC，D为斜边AC的中点， 所以SD⊥AC. 连接BD，SD(图略).在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，且SA＝SB， 所以△ADS≌△BDS，所以∠ADS＝∠BDS， 所以SD⊥BD. 又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，所以SD⊥平面ABC. [变式探究] 　在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，则BD与平面SAC的位置关系是什么？ 解：因为AB＝BC，点D为斜边AC的中点， 所以BD⊥AC. 又由例题知SD⊥平面ABC，所以SD⊥BD. 又SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC， 故BD⊥平面SAC. 证明线面垂直的方法 (1)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤 ①在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直； ②确定这个平面内的两条直线是相交直线； ③根据判定定理得出结论． (2)平行转化法(利用推论)： ①a∥b，a⊥α⇒b⊥α； ②α∥β，a⊥α⇒a⊥β. [练3] 已知四棱锥P­ABCD的底面是菱形，且PA＝PC，PB＝PD.若O是AC与BD的交点，求证：PO⊥平面ABCD. 证明：在△PBD中，PB＝PD，O为BD的中点， 所以PO⊥BD. 在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点， 所以PO⊥AC， 又因为AC∩BD＝O，AC，BD⊂平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD. 知识点三　直线与平面所成的角 如图是电线杆拉线示意图，观察两根拉线的倾斜程度．怎样描述直线相对平面的倾斜程度？ 直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，即图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点 射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过